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2. In un'altra Nota ( l ) ho dimostrato la proprietà seguente: 



* Se una successione di funzioni continue è convergente in un inter- 

 « vallo (a , b), in ogni tratto (a , /?) di {a , b) esistono punti in cui la suc- 

 « cessione converge uniformemente » . 



Pel teorema 2° del § precedente possiamo enunciare questa proprietà 

 come segue: 



« L' insieme degli zeri della funzione Sì(x) è denso in tutto l' in- 

 « tervallo «. 



Ciò posto, possiamo dimostrare il 



Teorema «Se 



fl(x) , f t (x) , ... , fn(x) , ... 



* è una successione di funzioni continue convergente nell' intervallo (a , b) , 

 « i punti singolari rispetto alla convergenza uniforme ordinaria costituiscono 

 « un insieme di prima categoria ». 



Indichiamo con G- questo insieme. Appartengono a G i punti di (a,b) 

 in cui S2(x) > 0. Poiché Si(x) è semi-continua superiormente l' insieme 

 dei punti di (a , b) nei quali S2(x) _> a , essendo a un numero positivo, è 

 chiuso ( 3 ). Esso non può essere denso in alcun intervallo {a , /?) di (a, b), 

 perchè altrimenti dovrebbe contenere tutti i punti di (a , /?) e ciò sarebbe 

 in contraddizione col teorema precedente. Ciò posto, sia 



una successione di numeri reali, positivi e decrescenti avente per limite zero : 

 <j„ l'insieme dei punti di (a , b) nei quali Sì(x)>.<r n , (n = 1 , 2 , ... , oo). 

 Gr„ , qualunque sia n , è un insieme non denso in (a , Si riconosce facil- 

 mente che ogni punto di G appartiene ad uno degli insiemi 



Ci , Gì , ... , C n , ... 



e reciprocamente che ogni punto di C„ , qualunque sia n , appartiene a C . 

 Si conclude che G è un insieme di prima categoria. 



Osservazione l a . — È chiaro che i punti di discontinuità della fun- 

 zione limite appartengono a C Pel teorema di Baire ( 4 ) essi formano alla 

 loro volta un insieme di prima categoria. 



Osservazione 2 a . — Supponiamo che oltre alle funzioni 



fì(x) , ft(x) , ... , f n (x) , ... 



(') Sulla funzione limite di una successione di funzioni continue. Rendiconti del 

 E. Istituto Lombardo di Se. e Leti, serie II, voi. XLI, 1908, pp. 683-684. 



( a ) C. A. Dell'Agnola, Sulle funzioni egualmente continue, loc. cit. 



(') R. Baire, Lecons sur les fonction discontinues, Paris, Gauthier-Villars, 1905, 

 pag. 73. 



( 4 ) R. Baire, loc. cit., 1905. 



