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è il massimo comune divisore, di grado r , fra f(x) ed F(,«) , allora sarà 

 m -j- n — r la caratteristica del determinante S . 



Questo teorema non è nuovo; noi qui vogliamo soltanto darne una facile 

 dimostrazione. 



Consideriamo i due polinomi primi fra di loro 



(5) (p = f:M=p 0 x m - r +p 1 x m - r - i + - ■ ■+p m ~r-ix j rp m -r 



(6) <P = F : M = q 0 + q\ x n ~ r ~' -\ j- q n -,-x x + q n - r , 



ed il loro risultante di Sylvester 



p 0 0 ... 0 



pi p 0 ... 0 



(7) 



a = 



r/ 0 • • • 0 

 qi ...0 



Pm—r Pm—r—\ 



0 



0 



Pm—r 0 



CJn- 



d'ordine m-\-n — 2r. Esso è diverso evidentemente da zero. 



Fra i coefficienti dei polinomi /,F,M,<jp,<P valgono le relazioni 



(8) 

 (9) 



lineari nelle p e nelle q . 



Ora consideriamo le m-\- n — r forme lineari delle m -\- n variabili 



lp l =p 0 2 l 

 *p2 = Piti + 



(10) xp m—r+i — Pm—r Zi ~f~ Pm—r-1%2 ~\~ 

 ^pm—r+2 Pm—r^ì ~\~ ' 



tym+n—r 



Pm—r »r< 



+ 



La matrice di questo sistema si forma costruendo, nella maniera indi- 

 cata da (3), il risultante dei due polinomi 



Po X m -\-p x X m ~ l H (- pm-r-i 0T/ +1 +^ m _r ^' 



ed assumendo le prime m-\-n — r linee di questo determinante così formato. 



