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e col cambiamento di variabile qx = s prendere la (1) nella forma 



£ K i .É'#»*-^)^« o) 



Ci si può dunque limitare, come osserva il Volterra, a studiare l'equazione 



Il Volterra riesce, sotto certe ipotesi, ai teoremi d'esistenza e di uni- 

 cità relativi alla soluzione dell'equazione (2), seguendo due vie diverse se- 

 condocbè è a^>0 o a <[ 0, Egli ricorre ad una forinola del calcolo delle 

 differenze finite. 



Nella presente Nota diamo i teoremi d'esistenza e d'unicità per la 

 soluzione della (1) sotto le stesse ipotesi del Volterra, ma per via molto 

 più semplice e più diretta, mediante la quale non saremo costretti a distin- 

 guere i due casi «>0 e a<^0. Noi procediamo esclusivamente per ap- 

 prossimazioni successive convenientemente dirette. 



2. Nella trattazione dei problemi dei valori al contorno per le equa- 

 zioni lineari iperboliche alle derivate parziali del 2° ordine, in due varia- 

 bili indipendenti, si perviene a tradurne i teoremi d'esistenza e d'unicità 

 in quelli per le soluzioni di equazioni integrali del seguente tipo 



dove l(x) è funzione definita in ( — a , a) ivi finita e continua, nulla nel- 

 l'origine. Ciò è mostrato in un nostro lavoro presentemente in corso di 

 stampa nei Eendiconti del Circolo matematico di Palermo ('), nel qual la- 

 voro riusciamo, sotto certe ipotesi il cui numero sarà notevolmente diminuito 

 in una Memoria che contiamo di redigere prossimamente, ai teoremi d'esi- 

 stenza e d' unicità per la soluzione dell'equazione integrale (3). Il metodo 

 seguito in detto lavoro per la risoluzione della (3) presenta profonde ana- 

 logie con quello che seguiamo qui per la soluzione della (2), ma le ipotesi 

 relative alla K(x , £), sotto cui è valido l'ultimo metodo, sono meno restrit- 

 tive di quelle sotto cui è valido il primo; ciò dipende dalla particolare 

 forma ax della funzione l(x). 



C'ì In questo lavoro perveniamo ai teoremi d'esistenza e d'unicità per le soluzioni 

 di un'equazione iperbolica alle derivate parziali del 2° ordine, assoggettate a prendere 

 valori assegnati lungo due curve, togliendo per queste la condizione della monotonia. 



dove per la costante a si verifica la diseguaglianza 



«!< i. 



(3) 



