— 261 — 



3. Noi vogliamo dimostrare il teorema di Volterra: 



Se le funzioni K(a? , £) , , f{x) , ^f- sono, nei rispettivi campi 



~~òx dx 



d'esistenza, finite e continue e se K(x , x) si mantiene diversa da zero in 

 tutto il tratto ( — a , a), esiste una ed una sola soluzione dell'equazione 

 integrale (2), finita e continua in ( — a , a) ('■). 



Per dimostrare il teorema osserviamo anzitutto col Volterra che l'equa- 

 zione (2) è equivalente a quella che se ne trae eguagliando le derivate 

 d'ambo i membri, poiché ci limitiamo alla ricerca delle soluzioni della (2) 

 finite e continue in ( — .a , a). La (2) è cioè equivalente alla 



y{jc) ~K(x , x) — aK(x , ax) y(ax) -f- f — y{%) d% - 



ax 



~òx dx 



la quale, ponendo 



K(x , ax) 1 , 1 df _ . 



K(x,x) = [X) ' ~~ K(x,x) Tx~ {X ' ?) ' K(x ,x)dx 



può scriversi 



(4) y(x) = <p(x) + uX(x) y{ax) + f *H(a; , £) # . 



-/ aa; 



Le funzioni ^(x) , A(ìc) , U(x , £) sono finite e continue nei rispettivi 

 campi d'esistenza e si ha 



(5) 1(0) = 1 • 



Definiamo la successione di funzioni y 0 {x) , yi(x) , ... , y n {x) , ... ponendo 



*/o(#) = 9>(») , 



^/ n+1 (cc) = ?(cc) -4- aA(#) ?/„(«») + E(x , £) y n (?) rff . 



Se dimostriamo la uniforme convergenza in ( — a , a) della serie 



(6) y*{x) + Jy^su) — y 0 (x) H (- jy»+i.(as) — y n (x)[ -f ••• 



potremo affermare, com' è ben noto, l'esistenza e l' unicità di una soluzione 

 dell'equazione (4), cioè della (2), soluzione rappresentata dalla somma della 

 serie (6) o dal limite lim y n {%) • 



n=oo 



Tutto dunque si riduce a dimostrare l' indicata convergenza della serie 

 (6). Perciò, osserviamo dapprima che, per la (5), detto l h+l il massimo in 



(') Veramente le K(x , £) e ^ potrebbero anche presentare delle particolari dis- 

 continuità e il teorema sussisterebbe ugualmente. Cfr. il notro citato lavoro. 



