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( — a , a) dei valori assoluti di À(a k x), si ha 

 ( 7 ) lim 4+i = 1 • 



k=rX> 



Per procedere più speditamente nel maggiorare la serie (6), introdu- 

 ciamo la funzione S(x , £) definita al modo seguente : 



, ,. „ . ( S(x , £) = 0 per — x<^%<Cax 



per ogni valore di x > 0 e v ; TT/ ^ : 



( = E(x , £) per ax <. ? <. x 



i j. „ , ( S(x , £) = 0 per — x > £ ~> acc 



per ogni valore di a? ^= 0 e ? v ; TT/ F . 



( = H(# , £) per «a; > £ > « 



Dopo ciò si potrà porre: 



y n+1 (x) = (f{x) -j- aX(x) y„(aa) + S(x , ?) «/„(£) d£ . 

 Osserviamo l'eguaglianza 



y n+ì {a H x) - y n+l {(^x) = aX(a H x) )y n+i (a k+l x) — y n {a k+1 z)\ + 



(8) p« 



+ a* S(«^,«^)}^ +1 (a^)-y„(a^)(^, 



— a; 



(£,« = 0,1 ,...)• 



Diciamo m 0 e m i massimi in ( — a , a) dei valori assoluti rispettiva- 

 mente delle funzioni y 0 (x) e y x {x) — y 0 (x) e diciamo M il massimo in Q 

 dei valori assoluti di S(# , £). Si ha, dalla (8) per n = 0, 



\y 2 (oc k x) — yi(oc k x) \ <. \a \ 4+i m -j- 1 « | & raM . 2cc , 



per x > 0 , e, per a; <. 0 , 



\yz(a ll x) — ?/i(« ft ^)| <- 1«| 4+i W — (al" mM . 2% , 

 ne segue, posto 



I a \ — ? 



e tenendo conto della diseguagliauza g k <Cl, 



\y*(cc k x)~y l {a k x)\<m{Ql l! + 1 + 2M|a:|) (fc = 0 , 1 , ...). 

 Dalla stessa (8) per n — 1, si avrà dopo ciò, per # >.0, 



| y 3 (« ft £c) — y,(a*a?)|< e4+i • ™((>4+ 2 + 2M*) + e "M« r°(^ ft+1 _2M?)rf? + 



a; 



+ q k Mm f %4+i + 2M£) d£ < m j £> 2 / ft+l 4+2 -}- 2g4 +1 . 2Mx , 



