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è convergente come si vede osservando che il rapporto di un termine al 

 precedente è 



a+ 1 



ln+l—i 



n — i -\- 1 



quantità che, per la (7), ha per limite q al tendere di n all'infinito. Per 

 trovare un valore maggiore della somma della serie (11) diciamo s un 

 numero intiero e positivo (certamente esistente per la (7)) tale che per 

 k -> s -f- 1 sia 



Qk<Qi < 1, 



dove potrà sempre supporsi q 1 ^>q. Diciamo / un numero maggiore di 1 

 e di li ,h , ... l s , si avrà 



00 



^_ {n , Ì) Q n ~ l h k ... l n -i = 

 n=i 



= l M±^ + (A±^ e k + .,. + {i + s , iU ,h...k + ... + 



+ (i -f- s + k , i) q s j - j (?4+0 ••• + - | < 



< / s y (» , i) q?-* = i s 



(1-QiY 



La serie (10) sarà pertanto, per ogni valore di x in (0 , a) , minore di 

 ? 0 + > — ) = TO 0 + e 1_ Pi , 



e sarà quindi convergente in egual grado. 



4. Risulta perciò dimostrato il teorema di Volterra. Osserviamo che il 

 nostro metodo di risoluzione della (4), applicato nel caso particolare 

 E(x , ?) = 0, ci dà per la unica soluzione dell'equazione funzionale 



y(x) — aX(x) y(ax) — g>(x) 



la nota espressione del calcolo delle differenze finite 



y(x) = (p{x) -J- ctX(x) (f{ccx) -f- a 2 X(ax) X(x) (p(cc 2 x) -J 



5. Il teorema di Volterra testé dimostrato, come subito si rileva dal 

 citato nostro lavoro, si traduce nel seguente per le equazioni lineari alle 

 derivate parziali del 2° ordine del tipo iperbolico: 



Per un punto 0 del piano passino due segmenti di retta H 2 e 

 Kj K 2 tali die o il rettangolo formato dalle parallele all'asse x per 

 e Ho e dalle parallele all'asse y per K x e K 2 , o quello formato dalle 

 parallele all'asse x per Kj e K 2 e dalle parallele all'asse y per e 



