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In tali ipotesi, lo Schmidt (') ha dimostrato che una funzione reale 

 arbitraria della x nell' intervallo a, b , può sempre essere rappresentata me- 

 diante una serie delle funzioni ip x {x) , xpì{x) , ... convergente assolutamente 

 ed uniformemente nell'intervallo dato, più eventualmente un polinomio li- 

 neare in x. La formula dello Schmidt è la seguente: 



(1) m _ w -«,(») | , m=m + 1 nx) jy M m dy . 



Questa formula esprime la funzione g(x) per mezzo dei valori della 

 derivata g'(x) in tutto l'intervallo, e dei valori della g(x) nel punto a e 

 nel punto b. Ma la funzione g(x) è completamente determinata, quando 

 sono dati i valori della derivata g\x) in tutto l'intervallo, ed il valore 

 della g(x) in un solo punto, per es. in a; onde deve essere possibile, nel 

 secondo membro della formula precedente, eliminare g(b). Abbiamo infatti 



g (b) = g{ a ) -f f g'(x) dx , 



J a 



e quindi, sostituendo, la formula di Schmidt si trasforma nella seguente: 



(2) g(x) = g(a) + t gf(x) dx + £ xp,{x) g\y) #(y) dy . 



2. La formula 



(3) ^(a?) = y(a:) - VV(*0 A(^(^)) A(<jp(a)) d# + 



+ X VV(^) A(V(jl(») A(#(:r)) d# 



1 •-'a 



(A(9') = 9' (n, +P.9' Cn " l) + -+Pn-l <P +Pn<f), 



che abbiamo dimostrato in fine della nostra Nota: Sulla sviluppabilità in 

 serie, ecc. ( 2 ), si può considerare come una generalizzazione della formula (2). 

 Eicordiamo le ipotesi in cui la (3) è valida . 



1°) ff(z) -Pi( x ) > -Pn(«) , SP(«) , i » - sono Unzioni ana- 

 litiche della variabile complessa x , reali per x reale, monodrome e regolari 

 senza eccezione entro un cerchio che ha centro nel punto x=a, e raggio 

 maggiore di b — a ; 



2°) La (p(x) e le sue prime n — \ derivate assumono per x = a i 

 valori della g{x) e delle sue prime n — 1 derivate; tpi(x) , . - si 



( 1 ) Mat. Ann. 1907, Entwicklung Willkùrlicher Functionen, etc, § 16. 



( 2 ) Rend. Accad. Lincei, 5 giugno 1910. 



