— 267 — 



annullano per x = a insieme alle loro prime n — 1 derivate, e sono linear- 

 mente indipendenti; 



3°) A(ipi(x)) , A{ipz(x)) , ... sono funzioni normali ed ortogonali nel- 

 l' intervallo ab , e costituiscono in queir intervallo un sistema chiuso. 



In particolare tra le funzioni g.(x) che soddisfano alle condizioni indi- 

 cate, possiamo considerare un polinomio di grado n — 1. 



Poniamo n = 1 , A(g>) = <#' , <p{x) = g{a) , otteniamo in particolare 

 una formula analoga alla (2) 



oo_ p& 



(4) g( a ) = g(a) -f ^ xp^x) J rp'^x) g'{x) dx , 



che è più semplice della (2) in quanto che in essa non comparisce il termine 

 lineare in x — a. Ciò dipende dal fatto che le funzioni ty\[x) , ip%(x) , ... , 

 che compariscono nella (2), si annullano, per ipotesi, per x = a e per x = b: 

 mentre quelle che compariscono nella (4), si annullano, per ipotesi, solo per 

 x = a . In compenso, la (2) vale in ipotesi meno restrittive, in quanto che 

 le funzioni che ivi compariscono sono funzioni reali, non soggette ad altra 

 limitazione che a quella di esser funzioni finite e continue insieme con le 

 loro derivate prime e seconde nell' intervallo a b ; mentre per le funzioni 

 che compariscono nella (4) si è supposto che siano funzioni della variabile 

 complessa x, reali per x reale, monodrome e regolari senza eccezione entro 

 tutto un cerchio, avente centro nel punto x = a , e raggio maggiore di 

 b — a. 



Poniamo successivamente 



n = 2 , A(<f) = <p" , <p{x) = g(a) + (# — «) g\a) , 



n == 3 , A(<p) = g>'" , (f (x) = g(a) -\-{x — a) g'(a) + j(x— a) 2 g"{a) , 



otteniamo dalla (3) altrettante formule particolari 



00 rb 



g(x) = g{a) + (x — a) g'(a) -f > xp v {x) \j)"(x) g"(x) dx 



1 ' J a ~ 



g(x) = g(a) + (x - a) g'{a) + g"(a) + 



L'ordine n, la forma delle funzioni pi(x) , pz(x) , ... p n (x) che compa- 

 riscono nella definizione del simbolo A , essendo arbitrarie, la <p(x) essendo 

 pure arbitraria, limitatamente alla condizione che nel punto x= a, assu- 

 mano essa e le sue prime n — 1 derivate i valori g(a) , g'(a) , ... g n ~ l (a) , 



