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si vede che nella formula (3) sono compresi infiniti sviluppi in serie di 

 una funzione data g(x). 



3. Date infinite funzioni tpi(x) , ipt(%) , ... diremo che esse costituiscono 

 un sistema equinormale-ortogonale entro un intervallo a, b, se è possibile 

 determinare l'ordine n, e la forma delle funzioni pi(x) , ...jo„(a?), che com- 

 pariscono nel simbolo A in modo che sia 



f A(W(#)) A(^{x)) dx=l ,fi==v 



J a 



= o , jU. 4= t ' • 



Se una funzione derivabile n volte è sviluppabile in serie per le 

 xp\{x) , ipì(x) , ... convergente assolutamente ed uniformemente nell' intervallo 

 a, b, essa e tutte quelle che si ottengono derivando termine a termine 

 n volte, 



co 



(6) A;, , 



i coefficienti A^. si calcolano immediatamente mediante le formule 



= f A^O»)) A( W(^)) • 



'a 



Una serie, come la (6) procedente per funzioni equinormali ortogonali, 

 la diremo serie analoga alle serie di Hilbert- Fourier. 



La serie (3) e tutte quelle che si deducono da essa, sono serie ana- 

 loghe alle serie di Hilbert- Fourier. 



La serie (1) di Schmidt è una serie analoga alle serie di Hilbert- 

 Fourier. 



Funzioni analoghe ai polinomi di Legendre. 

 4. Posto 



(7) A(y) = y ìl fpi y 1 - 1 + + ~ -hi»«-i i + j».y , 



consideriamo le equazioni differenziali 



A(0) = X 0 , A(«) = X, , ... A(«) = X m , ... 



X 0 , Xj , X m , ... essendo i polinomi di Legendre, e diciamo 6 0 ,6 1 , ... 6 m , ... 

 gì' integrali di quelle equazioni differenziali che per x = — 1 si annullano 

 essi e le loro prime n — 1 derivate. 



Le funzioni X 0 , Xi , ... X m ,... costituendo un sistema chiuso di funzioni 

 normali ortogonali, possiamo nella formola (3) al posto delle t/' 0 , ip x */v 

 sostituire le 0 Q , 0, , ... 8 m , ... , dopo aver preso a = — 1 , è = 1 . Assunto 



