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come funzione <p{x) un polinomio di grado n — 1, tenendo conto dell'arbi- 

 trarietà del simbolo A , raccogliamo il seguente risultato : 



Una funzione arbitraria della variabile complessa x, reale per x 

 reale, regolare senza eccezione entro un cerchio che ha centro nel punto 

 x = — 1 e raggio maggiore di 2, si può, nel tratto reale da — 1 -j- 1 , 

 sviluppare in infiniti modi in una serie di funzioni analoghe ai polinomi 

 di Legendre piti eventualmente un polinomio in x di grado n — 1 . 



Meccanica. — Sopra un problema di Huygens. Nota di Gio- 

 vanni Vacca, presentata dal Corrispondente A. Garbasso. 



Dati quanti si vogliano corpi elastici allineati, in linea retta, senza 

 toccarsi: supponiamo che il primo urti il secondo con una velocità data; 

 il secondo urti il terzo colla velocità acquistata nel primo urto, e così di 

 seguito. Date le masse del primo e dell'ultimo, si domanda quali devono 

 essere le masse dei corpi intermedi perchè l' ultimo acquisti la massima 

 velocità possibile. 



Huygens per il primo trovò che le masse dei corpi dati devono essere 

 in progressione geometrica [De motu corporum ex percussione, prop. XIII ; 

 Opuscula postuma, Lugd. Batav., 1703, p. 397). Ma il suo ragionamento 

 non era completo. Lagrange perciò, in una sua Memoria giovanile : Recher- 

 ches sur la méthode de maximis et minimis (Mise. Taur., t. I, 1759; 

 Oeuvres, t. I, Paris, 1867, pp. 15-18), ne diede una dimostrazione completa. 



Egli ricorse perciò ad un criterio da lui scoperto, col quale data una 

 funzione di più variabili, tale che tutte le sue derivate prime si annullino 

 per un certo sistema di valori delle variabili, si può talvolta accertare, con- 

 siderando certe diseguaglianze a cui soddisfano le derivate seconde, se per 

 quel sistema di valori la funzione considerata sia massima o minima in un 

 dato campo. 



Ma la verificazione delle condizioni che affermano l'esistenza del mas- 

 simo, è piuttosto complicata; tanto che con mezzi del tutto elementari ed 

 altrettanto semplici, si può giungere ad una soluzione diretta e rigorosa 

 del problema proposto. 



Si sa dalla meccanica che se un corpo elastico di massa a, con una 

 velocità data, che possiamo supporre eguale all'unità, urta un corpo di 



massa b , gli trasmette la velocità , = — - — . 



a -f- o , , a 



Se abbiamo ora n + 2 corpi di masse a 0 = 1 , di , a 2 , ... a n , a n +\ ~b, 

 la velocità trasmessa all'ultimo dal primo, che urta il secondo con velocità 1 , 



