(2) 



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Consideriamo, in relazione con (1), il determinante d'ordine n 



ai a 0 0 0 0 



a 3 a-ì ai a 0 0 



a 5 a A a 3 a 2 0 



a n a 6 a h « 4 0 



D 



0 0 0 0 



che chiameremo determinante di Hurwitz relativo al polinomio f(x); e 

 poi consideriamo anche quest'altro: 



(3) 



Q(y) 



f {n - l) (y) r\y) 

 (n — 1)1 



r~ Z) {y) 



n ! 



0 . . . 



f in - l \y) 



0 



(«-3)! 



f ln - 5) (y) 



(» — 2)! {n — 1)1 



r n ~ 4) (y) f (n - 3) (y) 



(» — 5) ! (» — 4) ! (n — 3) 



0 0 0 f(y) 



Esso è il determinante di Hurwitz relativo al polinomio in x 



(4) <p(%) = f(x -f y) = -—^ 



f in \y) , r- i \y) 



(n—l)\ 



X" 



+ -- + f{y)x+f{y). 



Il determinante (3) è un polinomio in y. i suoi coefficienti sono fun- 

 zioni razionali intere, abbastanza facilmente calcolabili, dei parametri a 0 , 

 «!,...,«„_! ,«„. Osservato ciò, noi vogliamo dimostrare questo teorema: 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè l'equazione f{x) = 0 

 abbia negative le radici reali e le parti reali delle radici complesse è 

 che, oltre /(a?), anche il polinomio Q(y) , nella variabile y , abbia diversi 

 da zero e di ugual segno tutti i suoi coefficienti. 



In tal modo noi giungiamo ad una nuova soluzione dell' importante pro- 

 blema. La critica ed il raffronto delle varie soluzioni avrebbero grande 

 utilità; ma sfuggono intanto ai limiti di questa breve Nota. 



2. Consideriamo quest'altra equazione, di grado m: 



(5) G(x) = c 0 x m + c x x m ~ v + f- c n -ix + c m = 0 , 



dove, per semplicità (non restrittiva), sia c 0 — 1, ed i numeri c x , c 2 , ... , c m 

 siano arbitrari numeri, reali o complessi. Indichiamo con — r, — r z , ... , 



