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— r m le m radici dell'equazione (5) ; con ciò potremo scrivere 



(6) C(x) = {x-\- rO (x + r 2 ) . . . {x -j- r ™) ■ 



Chiamando ora A il determinante di Hurwitz relativo al polinomio 

 G(x) , dico che vale la formula 



(7) A = <?«(r, -f- r 2 ) {r x -f- r 3 ) . , . (r l -\-r m ) ... (r m - x + r„) . 



2 ) 



somme binarie, ottenute combinando le m grandezze r x , r 2 , ... , r m . 



La (7) si dimostra agevolmente per induzione. Intanto il polinomio di 

 secondo grado 



(x -\- r j) (x -\- r 2 ) = x 2 -\- C\X -\- c 2 



ha per determinante di Hurwitz il determinante 



r y -j- r 2 1 

 0 r x r 2 



Esso vale (r x -j- r 2 ) r x r 2 cioè ^(^-f-r,); dunque la formula (7) è vera 

 per m = 2 . 



Supponiamo che la (7) sia già dimostrata per il polinomio (6) ; e con- 

 sideriamo il nuovo polinomio 



K(x) = (x-\-r) C(x) , 



prodotto di m -\- 1 fattori lineari, invece che di m . Il suo coefficiente ge- 

 nerico ks, vale <?„ -\- rc^-i , dunque il determinante di Hurwitz relativo a 

 K(x) sarà il determinante d'ordine m -f- 1 



Ci + rc 0 c 0 0 ... 0 



£3 + rc-2 c 2 -f- rei Ci~\-rc 0 . . . 0 

 c 5 + c 4 -f- rc 3 e 3 + rc 2 . . . 0 



(8) 



0 



0 



0 



Se c m è nullo, allora la (7) diventa A = 0, ed è evidentemente veri- 

 ficata. Se c m non è nullo, allora poniamo il determinante (8) nella forma 



R = rc n 



Ci 



Co 



0 



. . 0 



0 



Cz ■ 



Ci 



Ci 



. . 0 



0 



C5 



Ci 



C 2 



. . 0 



0 



0 



0 



0 



Cm 



Cm— 



—1— y.m 





-+- y>m— 2 



• f 



1 



Ed ora moltiplichiamo l'ultima colonna per c m , e sommiamo colla prece- 



