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dente moltiplicata per — <? m _i , poi coll'antiprecedente moltiplicata per 

 c m -o , ... , poi colla prima moltiplicata per rt c 0 . Così 1' ultima colonna di- 

 venterà tutta di zeri, ad eccezione dell'ultimo elemento che diventerà C(r). 

 Ma allora si ottiene subito 



rc 2 m R = C(r) A . 

 Per ipotesi, il valore di A è dato da (7), dunque si ottiene 

 R = rejr + r£) . . . (r + r m ) . . . (r,„_ a + r*) . 

 Nel secondo membro di questa formula figura il termine noto rc m del po- 

 linomio K(x), e vi figurano tutte le ( ^ j somme binarie, ottenute com- 

 binando le m -f- 1 grandezze r , r x , r 2 , ... , r m . Ciò prova la generale vali- 

 dità della (7). 



Da questa considerazione risulta chiaramente che l'annullarsi del deter- 

 minante di Hurwitz, relativo ad un'equazione, accusa la presenza di qualche 

 radice nulla di questa equazione, o di qualche coppia di radici opposte. 



Risulta ancora un'altra verità (contenuta nel risultato di Hurwitz) : se 

 il determinante di Hurwitz relativo ad un'equazione a coefficienti reali non 

 ha il segno di a 0 , allora l'equazione non può avere negative tutte le radici 

 reali e le parti reali delle radici complesse 



3. Dopo queste premesse, riesce abbastanza semplice la dimostrazione 

 del teorema che forma oggetto della presente Nota. 



Le radici di f(x) = 0 siano x x , x % , ... , x n \ e quelle di y>(x) = 0 

 siano £i , fs , ... , f w « Fra ia £■< generica e la x^ vale la relazione 

 (10) f v +y = aj,. 



Se Q,(y) non ha i coefficienti (delle potenze di y) di ugual segno, allora 

 non può avvenire che tutte le sue radici y x , y% , 1/3 , ... abbiano le parti 

 reali negative ; ve ne sarà qualcuna per esempio rj -\- iO, con parte reale r] 

 non negativa. Ma allora y(x) = f(x -J- rj -f- io), che ha Q(?y -j- itì) = 0 per 

 determinante di Hurwitz, non potrà avere tutte negative le sue radici reali 

 e le parti reali delle sue radici complesse: ne avrà qualcuna a-j-f/S, 

 colla parte reale a non negativa. Ma allora f\x) = 0 avrà la radice 

 a-\-i)-\- -f- 0), con parte reale non negativa. Ciò mostra, dunque, che, 

 se f(x) = 0 ha negative tutte le sue radici reali e le parti reali delle sue 

 radici complesse, allora il polinomio Q(#), nella variabile y, deve avere 

 tutti i coefficienti di ugual segno. 



Ma tale condizione è anche sufficiente. Se, infatti, f(x) = 0 avesse 

 qualche radice X + , con parte reale X non negativa, allora sarebbe 

 f{X-\- ifi) = 0 , e <p{x) = f{x -\- A) avrebbe la radice immaginaria pura 

 ma avrebbe anche la coniugata — perchè ha i coefficienti reali; e Q(A), 

 contenendo, per la (7), il fattore ifi — i\i = 0, dovrebbe essere nullo : dunque 

 (') Si capisce che la reciproca di questa proposizione non è vera. 



