— 383 — 



Matematica. — Sul gradiente di una omografia vettoriale. 

 Nota di Tommaso Boggio, presentata dal Socio T. Levi-Oivita. 



Nella teoria delle omografìe vettoriali — esposta dai prof. C. Burali- 

 Forti e R. Marcolongo nell'ottimo volumetto: Omografie vettoriali coti 

 applicazioni ecc. (G. B. Petrilli, ToriDO, a. 1909) (*) — è molto impor- 

 tante, sovratutto dal punto di vista delle applicazioni, la considerazione di 

 un certo vettore, dipendente unicamente da una data omografia vettoriale, 

 e che dicesi gradiente dell'omografia considerata 



Tale vettore è stato introdotto, dai predetti autori, mediante il riferi- 

 mento ad una terna di vettori unitari ortogonali; si dimostra però che esso 

 non cambia, comunque varii la terna suddetta, in guisa che il gradiente di 

 una omografia è funzione soltanto dell'omografia stessa. 



Si capisce quindi come dovesse esser possibile (e desiderabile) — benché 

 il modo di giungervi fosse tutt'altro che ovvio ( 3 ) — di definire il gradiente 

 di una omografia indipendentemente da ogni terna di riferimento ; e ciò ap- 

 punto mi è riuscito di ottenere, in modo assai semplice, per mezzo della 

 definizione (1), o della equivalente (V). In conseguenza della nuova defini- 

 zione, vengono semplificate le dimostrazioni di varie formule, relative al 

 gradiente di particolari omografie; e tali dimostrazioni espongo pure in questa 

 breve Nota. 



Per ultimo dimostro una nuova formula relativa alle omografie vetto- 

 riali, dalla quale si può subito dedurre la dimostrazione di una identità 

 molto importante, che lega le potenze di un'omografia e i suoi invarianti. 

 Tale identità è dimostrata, nel volumetto sopra citato, dapprima nel casa 

 in cui l'omografia ha tre direzioni unite distinte (e allora la dimostrazione 

 è immediata), poi è accennata la dimostrazione nel caso di un'omografia 

 qualsiasi ; questa dimostrazione conduce però a calcoli alquanto complicati ( 4 ) ; 

 quella che espongo qui, mi pare invece semplicissima. 



Dall'identità in questione si deduce poi, fra altro, che gli invarianti 

 del prodotto di più omografie sono indipendenti dall'ordine dei fattori. 



(') Nelle citazioni, indicherò questo libro semplicemente con (0. v.). 



( 2 ) Questo vettore venne considerato, la prima volta, dal prof. C. Burali-Forti nella 

 Nota: Sopra alcune operazioni proiettive applicabili nella meccanica, pag. 12 (in nota). 

 Atti della E. Accademia delle Scienze di Torino, voi. XLII, a. 1906-07. 



( 3 ) Infatti a pag. 51 del citato libro, dopo stabilita la formula: (grad m) X dP = dm t 

 ove m è un numero funzione del punto P, gli autori dicono che essa «pare non abbia 

 la sua corrispondente per una omografia qualunque che non sia un numero ». 



(*) Tanto è vero che gli autori soggiungono (pag. 10) che « sarebbe interessante- 

 trovare una dimostrazione diretta più semplice di quella che ora abbiamo accennata ». 



