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1. Sia a un'omografia vettoriale, funzione del punto P variabile in un 

 campo a tre dimensioni; con la notazione grad P a, o, quando non vi possa 

 esser luogo ad equivoci, semplicemente grada, che si legge « gradiente 

 (rispetto a P) di « », si indica il vettore, funzione di a e di P soltanto, 

 tale che 



d(KadP) 



(!) (grad a) X dP = I, 



dP 



qualunque sia lo spostamento (vettore) dP di P. 



Si riconosce subito che, se il vettore grad a esiste, esso è unico. Infatti 

 se x , y sono due vettori funzioni di a e di P soltanto, tali che 



XX <iP = yX<iP = I,^f^ ) 



si ha: 



(x — y) X dP = 0, 



qualunque sia lo spostamento dP nel campo considerato, perciò: x = y. 

 Se a , 8 sono omografie funzioni di P , si ha : 



(2) grad (a -f- §) = grad a -f- grad 8 , 



come si deduce subito dalla (1). 



Indicheremo, anche nel seguito, con i , j , k tre vettori unitari, formanti 

 una terna ortogonale destrogira. Si ha allora: 



(B, gl ,, a = (^ i ) i+ (^ j ) j+ ^ k ) k . 



Infatti, dalla (1), ricordando l'espressione dell'invariante primo di una 

 omografia (0. v., pag. 8, [4]) si ha: 



(grada) X dP = i X dp i +j X - ^ p J + • • • , 



ovvero (0. v., pag. 47. [7], [9']): 



(grada) X dP = i X K 0| i) rfP+jXK j) dP + • • -, 



cioè (0. v.. pag. 18, [6] ) : 



(grad a)XdP = dPX [(^ i) i + j) j + •••]., 



da cui segue la (3). È precisamente la formula (3) che è stata assunta in 

 0. v., pag. 49, [1], come definizione di grad a . 



