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Se ?» è un numero funzione di P, ed x è un vettore qualunque, il 



(Ltìi 



gradiente di m ha con — la relazione semplice indicata dalla formula : 



tv L 



(4) (gradm) Xx = ^x, 



dalla quale, assumendo, in particolare, x = dP , risulta : 

 (4') (grad m) X dP — dm . 



La (4) si può dimostrare col procedimento stesso adoperato in 0. v., pag. 51. 

 Così pure rimangono immutate le dimostrazioni delle formule [5]-[17] del 

 n. 23 di 0. v. 



2. ^Ricordando che la divergenza di un vettore u funzione di P , si può 

 definire colla formula ( 0. v., pag. 56, [21 ) : 



(5) div u = li ~ , 



si può sostituire alla (1) la seguente definizione: 



(l'J (grad a) X dP = div (KadP) . 



La rotazione di u si può definire così (0. v., pag. 56, [1]): 



. OT7 - du 

 rotu = 2V-, 



e col procedimento stesso di 0. y., pag. 57, si stabiliscono le formule 



(6) rot (mu) = m rot u -f- (grad w)An 



(7) divorali) = un div u -4- (grad »)Xn 



(8) div(u A v) = v X rotu — u X rot v, 



ove v è un vettore funzione di P. 



Ciò premesso, se a è un vettore costante, è facile dimostrare che: 



(9) (grad a) X a = div (Kaa) 



(10) grad« = idiv(K«i) + j div(Kaj) + k div(Kak) , (0, v., pag. 58, [14]) 



(11) gvad(ma) = m grada + a (grad m), (0. v., pag. 50, [2]) 



(12) grad (u A) = — rot u , (0. pag. 58, [13] ) 



(13) grad (k^Ì =grad div u , (0. v., pag. 59, [16]) 



(14) grad ^ = grad div u — rot rot u , (0. v., pag. 59, [15]) 



Rendiconti. 1910, Voi XIX, 2° Sem. 51 



