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(15) grad H(u , v) = u + v div u , 



(16) div (au) = h ^ + (grad K«) X u , (0. v., pag. 57, [10]). 



Dim. (9). — Assumendo lo spostamento dP parallelo al vettore a, 

 che, evidentemente, è lecito supporre unitario, si ha: dP = (a X dP) a, onde 

 dalle (1'), (7): 



(a X dP) (grad a) X a = div [(a X dP) K«a] 



= (a X dP) div (K«a) -f [grad (a X dP)~] X K«a , 



e poiché dalla (4') ri riconosce subito che grad (a X dP) = 0, si ha la (9). 

 Dim. (10). — Poiché: 



grad a = (i X grad a) i -f- ( j X grad a) j -|- (k X grad a) k , 



dalla (9) segue senz'altro la (10). 



Dira. (11). — Dalle (1'), (7) si deduce: 



[grad (ma)'] XdP = div (mKadP) = m div (KadP) -f- (grad m) X KadP 

 = m (grad a) X dP -f- a (grad m) X dP , 



perciò se ne trae la (11). 



Dim. (12). — Dalle (1'), (8) risulta: 



[grad (u A)] x dP = — div (u A dP) = — (rotu) xrfP|nX rot dP , 



ma si vede subito che: rot«5P = 0, onde si ottiene la (12). 

 Dim. (13). — Dalle (1'), (4') si ha: 



j^grad (k X dP = div (~ dP^j = d (div u) = (grad div u) X dP , 



la quale dimostra la (13). 



Dim. (14). — Si ha anzitutto [0. y., pag. 56, [3]): 



du dn . . , . . 

 rfP= K ^P+ (r0tu)A ' 



perciò prendendo il gradiente di ambi i membri, e ricordando le (2), (12), 

 (13) si ha la (14). 



Dim. (15). — Dalle proprietà dell'omografia H (0. v. pag. 20, [1], 

 [2]) si trae: 



[grad H(u , v)] X dP = div [KH(u , v) X dP] = div [(v X dP) u] 

 = [grad (v X dP)~\ X u + (v X dP) div u , 



