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e poiché il primo termine dell'ultimo membro può scriversi (0. v., pag. 51, [5]): 



( x £-")*■• cioè (f n ) xiv 



si conclude la (15). 



Dim. (16). — Dalla (5) e dalle formule [7], [9'], pag. 47 di 0. v., 

 si ha: 



= i x(«f) i +^(%f^+ kx (^) k + ix (l? i )''+- 

 -K"^)-«><[(^i)i-(^j)j + (^ k ) k ], 



la quale, in virtù della (3), non differisce dalla (16). 



Un'altra proprietà, che è spesso molto utile, è la seguente. Se u,v,... 

 sono numeri funzioni di P, ed a(u,v,...) è un'omografia funzione di u,v,... 

 (e quindi di P), si ha: 



(17) gradpa = — grad P w -\- — grad P v -f- ••• 



~iìU ~ùV 



Infatti, dalla (3) si deduce: 



du 



dF 1 



e per la (3) stessa, segue la (17). 



3. Esponiamo ora una dimostrazione semplicissima di una notevole 

 identità che lega le potenze di un'omografìa e i suoi invarianti (O- v., 

 pag. IO, [1]). 



Conviene anzitutto premettere una formula assai utile. Se a è un'omo- 

 grafia vettoriale, ed x , y sono vettori qualunque si ha : 



(18) (ax) A(ay) = (I 2 «) x A y — K«(x A ay — y A ax) . 



Infatti, se z è un vettore qualunque, non complanare con x , y , si ha dal- 

 l'espressione dell'invariante secondo di un'omografia ( 0. v., pag. 7, [3]): 



(I 2 «) (x A y) X z = (x A «y) X «z — (y A «x) X«z-f- (ax A ay) X z 



= Ka(x A ay) X z — Ka(y A ax) X z -f- (ax A ay) X z , 



la quale, essendo vera qualunque sia z, dimostra la (18). 



