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Si può trasformare la (18) applicando la formula: 



(19) K«(xAy) = (Ii«)xAy — (xAay- yAax) (»), 

 e si ha così: 



(«x) A(«y) = (1 2 «) x A y — Ka [(I,«) x A y — K«(x A y)] , 

 perciò se si pone: 



(20) Ef*="l,a — Ko(I,« — K«), 



l'omografia Ra è evidentemente funzione della sola a, e risulta: 



(21) («x)A(«y) = R«(xAy). 



In 0. Vi\ pag. 24, [1], è assunta la (21) come definizione di Ra, e 

 la (20) vi è stabilita in modo del tutto diverso. 



Ciò posto, consideriamo la formula (0. v., pag. 18, [8]): 



Kaj(«x)A(«y){ = (l 3 «)xAy ( 2 ); 



essa può scriversi, applicando la (21): 



(K«) Ra = I 3 a , 



perciò sostituendo ad Ra il valore (20) risulta: 



(22) (Ka) 3 — (I x a) (Ka) 2 + (I 2 a) Ka — I 3 a - 0 . 



È questa l'identità che volevamo dimostrare. Ponendo K« al posto di a 

 si ha ancora: 



(22') a 3 — (I, Ka) a 8 -{- (I 2 Ka) a — I 3 Ka = 0 . 



Dedurremo ora due proprietà dalla (22) ; una prima è questa che le 

 omografie a e Ka hanno gli stessi invarianti, cioè (0. y., pag. 17, [5]): 



(23) I r (Ka) = l r a, (r = l,2.3). 



(') Questa formula si può ottenere da quella di 0. v., pag. 18, [7J, ponendovi Ka 

 al posto di a; però siccome la dimostrazione, che di quest'ultima formula è data in 

 0. v., è piuttosto complicata, è utile far vedere che la (19j può ad es. dedursi subito 

 dalla formula (0. v., pag. 19, [11]): 



(a) 2V(xA«) = ( I >«- 



la cui dimostrazione è semplicissima. Infatti si ha intanto: 



K(x A «) = X A « — 2V (X A f) A - 



perciò ricordando la (a), si ha, se y è un vettore qualunque: 



K[xA«)y = xA«y- (i,«)xAy + («x)Ay. 



e poiché il primo membro può scriversi (0. v., pag. 18, [9]): -K«(x/\y), la formula 

 precedente non differisce dalla (19). 



(») Il prof. Marcolongo mi ha scritto, giorni sono, di aver dimostrato in modo sem- 

 plicissimo questa formula, come pure la [7J, pag 18 di 0. v , deducendola direttamente 

 dalle [3], pag. 7 di 0- v. 



