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Infatti, operando col simbolo K sulla (22') si ha: 



(24) K« 3 — (I, K«) W -f (I 8 K«) K« — I 3 K« = 0 , 



ma siccome (0. v., pag. 18, [9]): Ka r = (K«) r , confrontando le (24), (22) 

 si deducono le (23). La (22') può perciò anche scriversi: 



(22") a 3 — (l ìa ) a* + (I 2 a)« — I 3 a = 0 . 



Le (23) sono stabilite in modo del tutto diverso in 0. v. 



La seconda proprietà è la seguente. Se /? è un'altra omografia vettoriale, 

 le omografie «/? e fta hanno gli stessi invarianti, cioè: 



(25) l r (a§) = l r {(ì«), (r= 1,2,3). 

 Infatti, ponendo nella (22") al posto di a, prima a/3 e poi si ha: 



(26) «/? — [^(«/S)] + [!,(«£)] «/? — I 3 («/S) = 0 , 



(27) — [I. (/?«)] + [ty/S*)] - r 3 (/?«) = 0 ; 



operando a destra con a sulla (26), e a sinistra pure con a sulla (27), 

 risulta: 



a$u§apa — [li (/te)] «/?«/?« + [I,(/?a)] — [I 3 (/?«)] « = 0; 



il confronto di queste due identità fornisce le (25). In 0. v. le (25) sono 

 state ottenute, in modo del tutto diverso, solo per r=l (pag. 20, [16]) 

 e per r = 3 (pag. 8, [8]). Per r == 2 la formula potrebbe pure dedursi 

 dalle [6] , [12] di pag. 25. 



Osservazione. — Due altre proprietà assai utili sono le seguenti. 

 Se u, v, . . . . sono numeri funzioni di P, ed x (u, v, . . .) è un vettore fun- 

 zione di u, v, (e quindi di P), si hanno le formule seguenti, facili da 



dimostrarsi : 



div x = (grad u) X |r -f (grad v) X ^ + . . .. 

 rot x = (grad u) A ^ + (grad v) /J\ ^ + . . . . 



Per mezzo della prima di queste formule, si può semplificare la dimostra- 

 zione della (17). 



