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Matematica. — Sull'equazione alle semisomme e sul teorema 

 di Hurwitz. Nota del dott. L. Orlando, presentata dal Corrispon- 

 dente A. Di Legge. 



In due lavori, recentemente inseriti nei Rendiconti di questa illustre 

 Accademia, ho detto ciò che intendo per problema di Hurwitz; ed ho, nel 

 primo lavoro, ricondotta la risoluzione del problema alla costruzione della 

 equazione alle semisomme relativa all'equazione data, e, nel secondo, alla 

 costruzione di uno speciale determinante. I due metodi sostanzialmente coin- 

 cidono. 



Qui voglio esporre alcune osservazioni, le quali dimostrano la coinci- 

 denza dei due metodi; poi voglio dimostrare, per via algebrica, con mezzi 

 molto più elementari di quelli adoperati dall' illustre Autore, il teorema 

 che Hurwitz stabilisce per risolvere l' importante problema. Resteranno an- 

 cora da ricercarsi le relazioni fra il metodo di Hurwitz e quello che fa 

 capo all'equazione alle semisomme, ma intanto non sarà male fermarsi ai 

 concetti finora stabiliti. 



1. Siano — r, , — r 2 , ... , — r n le n radici dell'equazione di grado n 



f(x) = a^x n -f- a^"- 1 + • ■ • 4* a n-\X -j- q n == 0, 



dove, per semplicità (non restrittiva), vogliamo considerare a 0 = l. Possiamo 

 dunque scrivere 



f(x) = {x + r x ) {x -f- r 2 ) . . . (x + r n ) . 



Consideriamo il determinante d'ordine n — 1 



a 3 a» #i 

 D n _i = a 5 a 4 a 3 



0 0 0 



0 0 

 0 0 

 0 0 



<z rt _i a n 



Il procedimento d'induzione lascia dimostrare, come vediamo subito, 

 la formula 



(1) D n _, = (r, + r 2 ) (r, + r,) . . . (r, + r n ) {r n . x + r n ) , 



dove s' intendono combinate a due a due. in tutti gli ^) moc ^ * e n S ran " 

 dezze r , r 2 , .. , r„ . 



