Osserviamo intanto che la (1) è senz'altro valida per i polinomi di 

 grado 2; poi ammettiamola fino al grado n, e vedremo che resterà valida 

 per il successivo grado n -j- 1 . 



Costruiamo il determinante, d'ordine n , analogo a D„_, , per il poli- 

 nomio di grado n -f- 1 



K(x) = f(x) (a? + r). 



Otteniamo 



a 1 -\-a 0 r a 0 0 ... 0 



a 3 -\-a 2 r a<i-\-a x r a^-\-a 0 r . . . 0 

 A„ = a 5 -\- a 4 r « 4 -f- a-, r a 3 -{- # 2 r . . . 0 



0 



0 



0 



Innalzando di un'unità l'ordine di questo determinante, lo possiamo 

 mettere nella forma 



An = 



a, 



«0 



. o 



. . 0 



0 



«3 



a 2 





. . 0 



0 





«4 



a 3 



. . 0 



0 



0 



0 



0 



. . a„ 



a, 



r « 



— — yiM— 1 





. — r 



1 



Basta ora moltiplicare la prima colonna per ±fl 0 , la seconda per , 

 e poi sommare coli' ultima moltiplicata per a», per vedere che esso vale 



— f(r)a n V n -i, cioè / , (r)D„_ 1 . Ma f(r) vale (r+r,) (r + r 2 ) ... (r + r n ), 



n 



dunque fornisce ciò che manca al prodotto (1) perchè contenga tutte le 



somme binarie formate combinando le n + 1 grandezze ?v,rg,..., 



r„ , r . Ciò dimostra, secondo il criterio d' induzione, la generale validità 

 della (1). 



Ora consideriamo il polinomio P(x) = f(x -f- y) , e coi coefficienti di 

 P(#), i quali sono funzioni di ^, costruiamo il determinante d'ordine w — 1, 

 analogo a D„_ 1? che chiameremo F(^). In forza del teorema espresso dalla 

 formula (1), potremo scrivere 



W = 0*i + r, + 2y) ... . (r, + r w + 2y) . . . (r M _ 1 + r n + 2y) , 



perchè le radici di P(^) = 0 saranno evidentemente — r l — y , — r 2 — y 



— r n — y. 



