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Dopo ciò, risulta senz'altro che l'equazione F(y) = 0 è l'equazione alle 

 semisomme relativa all'equazione f(x) — Q. Moltiplicando F(y) per f(y) 

 si ritrova l'equazione stabilita nel precedente lavoro: anch'essa è l'equazione 

 alle semisomme, ma con elementi ripetuti, cioè, fra le altre semisomme, 



vi figurano — 4 — = r\ , ecc. 



u 



2. Ed ora noi vogliamo dimostrare algebricamente il teorema di Hurwitz. 

 Chiamando con D v il minore formato colle prime v linee e colle prime v 

 colonne di D n _! , e considerando anche D n = a„ D„_! , scriviamo la catena 



(2) 



ciò , Di . D 2 , ... , D„_i , D n 



Supponiamo ancora «0 = 1, e supponiamo reali gli altri coefficienti 

 di f(x). Il teorema di Hurtwitz si enuncia allora in questo modo: 



Condizione necessaria e sufficiente perché f{x) = 0 abbia negative 

 le radici reali e le parti reali delle radici complesse è che gli elementi 

 della catena (2) siano positivi. 



Sarà opportuno fare alcune premesse. 



Consideriamo, per esempio, il determinante 





«0 



0 



0 



0 



0 



«3 



at 



ai 



a 0 



0 



0 



a 5 



a 4 



a 3 



a z 



a x 



a 0 



a 1 



a 6 



«5 



#4 



a-i 



a t 





a» 





a t 



a-o 



a 4 





r 4 







— r 



1 



Moltiplichiamo rispettivamente le ultime quattro colonne per gli aggiunti 

 degli elementi dell' ultima linea del determinante 



ai a 0 0 0 



« 3 «2 ai a 0 



a 5 a 4 a 3 a% 



r z — 



A 3 = 



1 



Così l' ultima colonna di As avrà tutti zeri, tranne i due ultimi elementi, 

 che saranno D 4 e A3 • Ma As sarà stato moltiplicato per D 3 , dunque, svi- 

 luppando, otteniamo D 3 Ao = A3 D 5 -f- rD 4 A4 • In modo perfettamente ana- 

 logo, che a scanso d' ingombro non descriviamo ulteriormente, otteniamo la 

 formula generale 



(3) 



D v _i Av+i = Av-i D^ +1 + rD v A-- 



valida a partire da v = 2 fino a v = n — 1. 



