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Sia ora r un parametro reale positivo; allora basterà ammettere che 

 f(x) = 0 abbia negative le radici reali e le parti reali delle radici, e che 

 verifichi il teorema di Hurwitz, poi ammettere che Am=i e Av siano posi- 

 tivi, perchè ne risulti positivo anche Av+i • 



Se poi r è complesso = a-\-ifi, con a positivo, allora consideriamo 

 anche il coniugato r' = a — ìfì , e sia (x — r) [x — /) = x 2 -\- kx -f- 1 . 

 Il determinante 0 V (analogo a D„ e a Av), formato cui coefficienti di 



S( x ) = f{x) {x 2 -f/b; + /), 

 ha gli elementi reali, sebbene A-j non li abbia. Per esempio sarà 



a x -\- ka 0 a 0 0 



©3 = «3 + ka 2 -\- lai a% -j- ka Y -f- la 0 a x -f- ka 0 



a 5 -|- kdi -f- la-i a 4 + + la* a $ + ^ ~f~ l°>i 



Come la (3), si stabilisce anche la formula 

 (4) As-i©v+i = Av+i + r'A.®. . 



Queste due formule (3) e (4) mostrano che basta, oltre le precedenti ipotesi, 

 ammettere positive le parti reali di A-j-i , A^ , perchè risulti positiva la 

 grandezza reale . 



Dopo ciò, aggiungendo ovvie osservazioni, noi possiamo, senza molto 

 indugiarci, asserire che il criterio d' induzione lascia agevolmente stabilire 

 la prima parte del teorema di Hurwitz : se un polinomio a coefficienti reali 

 ha negative le radici reali e le parti reali delle radici complesse, allora 

 gli elementi (2) relativi a questo polinomio debbono essere positivi. 



Dobbiamo ancora dimostrare che tale condizione è anche sufficiente. 

 Intanto osserviamo che f(x) , f(x) (x 2 -f- co,) , f(x 4 -J- co } x 2 -f- w 2 ) hanno gli 

 stessi D v . 



Supponiamo, dopo ciò, positivi gli elementi (2), e sia (per assurdo) 



r = a , ovvero r = a -f- ifi , con a non negativo, una radice di f{x). Intanto 



f(x) deve avere qualche altra radice reale non negativa, o qualche altra 



coppia di radici coniugate con parte reale non negativa: ciò risulta senza 



altro dal segno positivo di a n , e dalla (1), dove D n -\ è positivo. 



f(x) f(x) 



Ma allora il polinomio 1 v ; o il polinomio \J . — - , di gradi 



* x — a ^ (x — a) 2 -J- /S* ' 5 



inferiori ad n, dovrebbero avere i D positivi, e qualche radice reale non 

 negativa o qualche radice complessa con parte reale non negativa ; ciò sta- 

 rebbe contro (per gradi < n) al teorema di Hurwitz ; ma tale teorema è 

 valido per i polinomi di secondo grado, dunque il criterio d 'induzione lascia 

 subito stabilire anche questa seconda parte. 



Rendiconti. 1910, Voi. XIX. 2° Sem. 52 



