— 397 — 



3. Passiamo a considerare il caso particolare nel quale il punto poten- 

 ziato s'avvicina indefinitamente alla circonferenza. Il determinante A con- 

 verge allora verso zero, tende a confondersi con e 2 , e la p a degenerare 

 in funzione iperbolica. Conseguentemente co tende a divenire infinito e con 

 esso pure infinito diviene V. Ciò s'accorda con risultati ben noti ( 1 ). 



In modo più preciso mi propongo di determinare per questo caso limite 

 una espressione assintotica di V, che metta in evidenza in qual modo di- 

 vengono infinite così questa funzione come le sue derivate (componenti del- 

 l'attrazione). 



4. Sia 0' il punto della circonferenza (arbitrariamente prescelto) al 

 quale il punto potenziato P s'avvicina indefinitamente. Senza ledere la ge- 

 neralità possiamo manifestamente supporre che 0' appartenga all'asse delle y 

 ed abbia quindi le coordinate (0 , a , 0). 



Supposto P già abbastanza prossimo ad 0' potremo senz'altro ritenere g 3 

 negativo, e valido perciò il seguente sviluppo di w ( 2 ): 



co = 



dove Q è una serie che procede per le potenze intere e positive di t 2 , F 

 la nota serie ipergeometrica di Gauss, e t 2 l'inverso dell'invariante asso- 

 luto J, cioè 



(6) A_ (9^-l)* . 



Q ed F essendo assolutamente ed uniformemente convergenti per |t|<1. 



Ciò premesso, ove si ponga (tenendo presente l'espressione di g 2 data 

 dalle (3)) 



1 \/W 



2n j/3(i 4-3/fc») 



V 2 = _J w /l 5 



2™ l/S(l -f 3£ 3 ) 

 la (6) può essere scritta 



Y = V 1 + V 2 . 



5. Per riconoscere il comportamento delle funzioni Vi e V s conviene 

 anzitutto esplicitare la dipendenza di Ai e i dagli elementi geometrici 

 della questione (posizione di P rispetto alla circonferenza). 



A questo scopo assumeremo un nuovo sistema di assi coordinati O'x'y's' 

 legato al precedente dalle formule di trasformazione 



x = x' , y = y' — a , !■•==, &' , 



0 Cfr. per es. Betti, Teoria delle forze neictoniane, pag. 20. 



( 2 ) Cfr G. H. Halphen, Traité des fonctions elliptiques, tom. I, pag. 345. 



