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e saranno — «i -4- y , — a z -\-y , ... — a n -\- y, le n radici del polinomio 

 di grado n in se 



(3) f( x )=f(— 



Supponiamo ora, per esempio, che la radice <x v . — y del polinomio (p(x) 

 sia eguale alla radice — a s -j- ?/ del polinomio , dove /x e v rappre- 

 sentano indici, anche non diversi, scelti fra i numeri 1,2, ... ,n. Allora 

 otteniamo 



"y. — V = — «v + y , 



cioè 



(4) y = -£-—-. 



La condizione (4) è dunque necessaria affinchè le due equazioni (p{x) = 0, 

 tp[x) = 0. abbiano radici comuni; ma è chiaro inoltre che essa è anche suf- 

 ficiente. 



Sviluppando colla formula di Taylor i due polinomi (2) e (3), noi ot- 

 teniamo 



(5) 9 (x) = x" + x^ + ... + £&x + f{y) 



fl»Uy\ f ln - lì (v) f'(v) 



Ed ora, sommando questi due polinomi, poi sottraendone invece uno 

 dall'altro, e dividendo in ambo i casi per 2, si ricavano i due altri polinomi 



Se le due equazioni g>(x) = 0 , xp(x) = 0 hanno qualche radice co- 

 mune, allora anche le due equazioni V(x) = 0 , Q(a;) = 0 avranno qualche 

 radice comune, e viceversa. Intanto osserviamo che una delle due equazioni 

 P(^) = 0 , Q(#) = 0 (quella di grado impari) ha la radice zero; affinchè 

 anche l'altra equazione (quella di grado pari) abbia la radice zero, è neces- 

 sario e sufficiente che il suo ultimo termine f(y) sia nullo, cioè che y sia 

 uguale ad una delle n grandezze a, , a 2 , ... , a„ , le quali si possono anche 



«1 + «1 «2 + «2 «« 4" «,l n . -J 1 -il- - j- 



scrivere , ^ , ... . £ . Dividendo per x il polinomio di 



Li Li u 



grado impari, noi possiamo ai due polinomi V(x) , Q(#) , uno di grado pari, 

 l'altro di grado impari, sostituire due polinomi di grado pari. Questi avranno 



