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qualche radice comune sempre e soltanto quando sia y ancora dato dalla 

 formula (4), ma in questa formula saranno da considerarsi n e v differenti. 

 La necessità di ritenerli differenti è palese finché l'equazione f(x) — 0 ha 

 le sue radici semplici, perchè allora f'{y), che è l'ultimo termine del po- 

 linomio di grado minore, non potrà annullarsi insieme con f(y), che è l'ul- 

 timo termine dell'altro; se poi l'equazione f(.x) = 0 ha qualche radice mul- 

 tipla (per esempio a, = a, = • • • = « r ), allora, per y uguale a questa radice, 

 i due polinomi avranno qualche fattore comune; in quest'ultimo caso il 

 ritenere \i e v sempre fra di loro differenti non è più cosa necessaria, ma 

 è ben opportuna per evitare ulteriori specificazioni, e si porrà, per esempio, 



a, = a ' ~ " 2 , senza rinunziare alla riserva che \i e v siano, nella (4), 



di 



da considerarsi fra di loro differenti. 



Supponendo che n sia pari, — 2k, possiamo dire che le nostre conside- 

 razioni ci avranno condotti a scrivere due polinomi di grado pari, che avranno 

 radici comuni sempre e soltanto quando valga la (4); in questa formula si 

 riterranno fx e v fra di loro differenti. 



Posto x 2 = £ , questi due polinomi si scriveranno 



? l - l + --- + f(y) 



M 



Se poi n è impari 

 si scriveranno 



Vi.($) = / W,^ ÌJ r 



- m ^ % + -- + f'{y)- 



(n — l)r 1 (n - 3)! 

 = 21t -\- 1 , allora i due polinomi, ai quali saremo giunti, 



r n) {y) 



r n - n (y) t *_ 



(n-2) 



ì' £ -'4---4Aj/) 



/■<«-> >(y) f ln - :i) (y) 



™>-^*\+^^' + --+'M- 



Se y non annulla / ,<n_1 } (y), possiamo osservare che la somma dei gradi, tanto 

 di TJi e di Vi quanto di U 2 e di V 2 , vale n — 1 . 



Il risultante di Sylvester di Uj , Vj coincide evidentemente con quello 

 di U 2 ,V 2 , come risulta dalla sua costruzione. In ognuno dei due casi, co- 

 struiremo il determinante 



(9) R(y) = 



(n—l)l 

 (» — 8)1 



f in) (y) 



0 



0 



r-^iy) r n - x \y) 



(a — 2)\ 



r n - 4ì (y) 



(n—iy. 



f ln ~ 3ì (y) 



{n — h)\ (n — 4)! (» — 3)! 



0 0 0 f'(y) 



