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Le radici dell'equazione ~R(y) = 0 saranno dunque date dalla formula 

 (4), dove si ritenga {x differente da v . Ora il grado del termine diagonale 



principale è evidentemente 1 — |— 2 — J— o — f— - - ■ — {— ^ — 1 = fé J ; e basta 



inoltre un'elementare osservazione, d'ordine generale, sui determinanti, per 

 accorgersi che gli altri termini non possono essere di grado maggiore. Se, 

 infatti, il determinante (9) si pone sotto la forma 2 — Cio.c 2 fc ...c nU , allora 

 la disposizione a v, che si può ottenere da 1 , 2 , ... , n con succes- 

 sivi scambi di due soli elementi, non innalza certamente il grado y^j del 



termine principale, appunto perchè gli scambi di due colonne operano in 

 modo da lasciarlo inalterato, o da abbassarlo per l' incontro di uno zero. 



Ma allora l'equazione 

 (10) R(y) = 0 



è precisamente l'equazione alle semisomme relativa all'equazione proposta 

 f(x) = 0 ('). 



Gli elementi del determinante (9) sono i coefficienti del polinomio 

 y>{x) = f{x -f- y) . Se vi si pone y = 0, ritroviamo dunque i coefficienti 

 a 0 , ctx , ... , a„ del polinomio f\x)\ ciò mostra che, nel polinomio R(y), il 

 termine indipendente da y è dato dal determinante d'ordine a — 1 



a 0 0 0 ...... 0 0 



.... 0 0 



a 



#3 $2 ^1 @0 



a 5 a 4 a 3 a 2 

 « 7 a 6 a 5 a 4 



0 0 

 0 0 



Q-n—% & n -3 



che abbiamo già incontrato nei miei recenti lavori. 



Intanto risulta subito che esso, considerato come una forma nelle 



«jx -f- 



cip , a v , ... , a n ha per fattori tutte le ^ j 



semisomme 



2 



(o somme 



"i -(-««)? che si ottengono combinando binariamente le n grandezze a,, 



Ma questo risultato, che in modo molto preciso si può, come abbiamo 

 altrove fatto vedere, dedurre da una formula stabilita per induzione, si può 

 anche, in base ai principi qui esposti, dedurre in modo più breve, senza 

 valersi del determinante (9). 



(') E chiaro che il caso delle radici multiple, che si può sempre ottenere come caso 

 limite, non può costituire eccezioni. 



