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Se le due equazioni f(x) — 0 , /( — x) = 0 hanno qualche radice co- 

 mune, per esempio a [X = — a„, allora sarà -(- a v = 0 ; e viceversa. In- 

 tanto, se f(x) = 0 ed /( — x) = 0 hanno qualche radice comune, allora 

 anche le due equazioni 



a 0 x n +a 2 x n - 2 -\ = 0 



a x x n ~ l -f- a 3 x n ~* + • • • = 0 , 



dedotte rispettivamente come P(cc) = 0 , Q(x) — 0 sono state dianzi dedotte 

 da (p(x) = 0 . xp(x) — 0 , cioè per somma e per differenza (e conseguente 

 divisione per 2), avranno qualche radice comune ; e viceversa. Uno di questi 

 due ultimi polinomi è di grado pari, ed ha per ultimo termine a n ; dividendo 

 l'altro per x, ci riduciamo a due polinomi di grado pari, nei quali porremo 

 x 2 — % . Il determinante (11) sarà il risultante di Sylvester di questi po- 

 linomi in £, così ottenuti; questo risultante si annullerà, dunque, ogni volta 

 che sia a„. -\- a,, = 0 , e solo allora ; ma gì' indici n e v si possono ritenere 

 differenti fra di loro, perchè se fosse = — , allora f(x) = 0 avrebbe 

 la radice zero: se questa fosse semplice, allora essa non sarebbe comune ai 

 due polinomi in ? ; se poi fosse multipla (a, = a 2 = • ■ • = a r = 0). allora 

 nessuno vieterebbe di considerare fx e r differenti, purché scelti (quando 

 venisse in considerazione tale radice) fra i numeri 1 , 2 , ... r . 



Dunque il determinante (11) contiene tutte le semisomme "T" a ^ 



(o somme a a -j- «-*) come fattori. 



Non è forse inopportuno far notare che, partendo dai due polinomi 

 f(ix) , f{ — ix) , si giungerebbe ai due polinomi 



&q X n — (1% X n 2 - 1~ (t\ x n * — ' • • 



a x x n ~ x — « 3 ^'~ 3 -f- a 5 x n ~ 5 — 



il risultante dei quali si presenta un po' diverso dall'altro, sebbene sia so- 

 stanzialmente lo stesso (il che si vede anche con agevoli osservazioni dirette). 



Anche l'algoritmo del massimo comune divisore fra i polinomi in £, 

 che. nel modo descritto, si ottengono, può. convenientemente studiato, pre- 

 starsi ad importanti riflessioni. 



In una Memoria, !5 quasi ultimata, che pubblicherò fra non molto, saranno 

 poste meglio in luce le relazioni fra le varie Note che ho pubblicate su 

 questo argomento 



Terminerò, per ora, osservando che al determinante (11) si può anche 

 pungere dalla considerazione del polinomio a 0 -f- a x x -j- — -f- an-\X n ~ l -j- a„x n : 

 questa considerazione appare forse un po' slegata dalle altre che qui si fanno, 

 ma ne rende possibili alcune notevoli estensioni. 



{') Con agevoli osservazioni comparative, che, per brevità qui omettiamo, fra i ri- 

 sultanti di Bézout e di Sylvester, si ritrovano alcune fra le considerazioni da noi diretta- 

 mente fatte sul determinante di Hurwitz, ed altre abbastanza notevoli, che saranno svolte 

 in tale lavoro. 



