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Le celebri ricerche da lui pubblicate, superato appena il 25° anno, nei 

 Tomi 59 e 62 del Giornale di Creile ( ] ), lo collocarono ad un tratto fra gli 

 inventori geniali. Diresse Egli la sua attenzione sulla superficie, fino allora 

 ben poco studiata, luogo dei centri di curvatura di una superficie data, e 

 considerò particolarmente il caso di superficie evolventi i cui raggi princi- 

 pali di curvatura sono funzioni l'uno dell'altro, superficie indicate più tardi, 

 in omaggio al Suo nome, come superficie W. Egli scoprì che ciascuna falda 

 dell'evoluta di una qualunque superficie W è applicabile sopra una super- 

 ficie di rotazione, che rimane la stessa per tutte le superficie W di una 

 medesima classe, quando cioè resta la medesima la relazione che lega i 

 raggi principali di curvatura. E inversamente dimostrò che, fatta eccezione 

 per le superficie rigate luogo delle binormali alle curve di torsione costante 

 (applicabili sul catenoide), ogni superficie deformata per flessione di una su- 

 perficie di rotazione può considerarsi come una falda dell'evoluta di una 

 superficie W, le cui normali sono date dalle tangenti alle curve deformate 

 dei meridiani sulla evoluta. Colla scoperta di questi teoremi si veniva a 

 dimostrare l'equivalenza di due problemi geometrici, in apparenza ben diversi: 

 quello della ricerca di tutte le superficie deformate delle superficie di rota- 

 zione, e l'altro delle superficie W. Ma qui non si arrestò il Weingarteu, 

 che nella seconda delle citate Memorie compiè una ulteriore importante 

 trasformazione del problema, cercando di caratterizzare, sulla sfera rappre- 

 sentatrice di Gauss, quei doppi sistemi ortogonali di curve che sono le im- 

 magini delle linee di curvatura di una superficie W. Egli trovò che in tutti 

 e soli questi sistemi sferici, scelti opportunamente i parametri di distribu- 

 zione delle linee, i due coefficienti E G risultano funzioni l'uno dell'altro. 

 Come applicazioni dei suoi teoremi, il Weingarteu potè' determinare due 

 classi complete di superficie applicabili; esempì affatto nuovi per la geometria, 

 che venivano ad aggiungersi a quello ovvio delle superficie sviluppabili. 



La prima delle accennate classi è quella delle superficie applicabili 

 sulla evoluta del catenoide; l'altra è quella delle superficie applicabili sopra una 

 speciale superficie di rotazione, perla quale, come molti anni dopo venne osser- 

 vato dal Darboux, può assumersi il paraboloide rotondo, a parametro pura- 

 mente immaginario. È noto come lo stesso Darboux, applicando opportuna- 

 mente gli immaginari, trasse poi, da questi risultati di Weingsrten, la classe 

 completa delle deformate del paraboloide rotondo reale. 



Per quanto interessanti siano queste applicazioni dirette, esse non for- 

 mano ancora che una minima parte delle conseguenze di questi celebri teoremi 

 di Weingarteu, ai quali si può senza esagerazione affermare che si collegano 

 molti dei più importanti progressi compiuti dalla geometria infinitesimale 



(') Ueoereine Classe ciuf eìnander abwickelbarer Flàchen [Bd. ó9( 1861)]; Ueber 

 die Flàchen fùr welche ein der Hauptkriimmungsradien eine Function des anderen ist 

 [Bd. 62 (1862)]. 



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