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Quivi si trovano date inoltre per la prima volta, e sotto forma invariantiva, 

 le forinole fondamentali della teoria delle superficie in coordinate tangen- 

 ziali, tanto utili in molte applicazioni. 



Nella stessa Memoria sono ancora stabilite altre forinole generali che 

 servono di fondamento alle belle ricerche pubblicate anteriormente dal Nostro 

 nei volumi 94 e 95 del Giornale di Creile ( 1 ). Qui si dimostra che, dato 

 un ds % appartenente ad nna superficie di curvatura costante, si può subito 

 scrivere, sotto forma invariantiva, un notevole sistema di tre equazioni si- 

 multanee del 2° ordine per una funzione incognita, le cui tre derivate se- 

 conde si esprimono linearmente ed omogeneamente per le derivate prime e 

 la funzione stessa. Tale sistema risulta illimitatamente integrabile : e la sua 

 soluzione generale, eguagliata a costante, dà i sistemi di circoli geodetici 

 paralleli sulla superficie. Dalle proprietà di questo sistema si può dedurre 

 inoltre che su qualunque superfìcie nota a curvatura costante, la determina- 

 zione delle linee geodetiche si riduce alla integrazione di un'ordinaria equa- 

 zione differenziale di 1° ordine, del tipo di Riccati. 11 medesimo risultato 

 veniva ottenuto quasi contemporaneamente dal Bàcklund, seguendo una via 

 geometrica che utilizza le proprietà della trasformazione complementare. 

 Giustamente però rileva il Weingarten essere il suo procedimento più natu- 

 rale, come quello che utilizza solo proprietà dell'elemento lineare, da cui 

 unicamente dipende la riducibilità del problema delle geodetiche ad nna 

 equazione di Riccati. 



Al notevole sistema di equazioni a derivate parziali, sopra ricordato, si 

 collega inoltre la bella costruzione geometrica infinitesimale colla quale Wein- 

 garten insegnò a passare da una superficie a curvatura costante ad un'altra 

 infinitamente vicina colla medesima curvatura, la distanza normale fra le 

 due soddisfacendo alla equazione caratteristica del Cayley per le famiglie 

 di Lamé. E sebbene Egli nulla abbia pubblicato su queste famiglie di Lamé 

 composte di superficie colla medesima curvatura costante, ma siasi limitato 

 a comunicarmi per lettera (nel 1884) quella costruzione fondamentale, ri- 

 tengo ben giustificato il nome di sistemi di Weingarten, da me dato a 

 quelle famiglie di Lamé, poiché a Lui è dovuto il primo passo nello studio 

 di siffatti sistemi. 



Veniamo ora ad alcune pubblicazioni di minor mole, ma tutte di sin- 

 golare interesse. 



Nel 1882, in una breve Comunicazione all'Accademia di Berlino ( 2 ), 

 Egli riprende e semplifica, con ingegnose considerazioni, la classificazione 



(') Ueber die Eigenschaften des Lini eneUmentes der Flàchen von constantem Krurn- 

 mung smass (1882-1883). 



(") Ueber die Verschiebbarkeit geodàtischen Dreiecke in krummen Flàchen (Sit- 

 zungsberichtc ..). 



