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data da Christoffel, delle superficie a seconda del grado di spostabilità dei 

 loro triangoli geodetici, e dimostra che la terza e quarta classe di Christoffel 

 si confondono in realtà nell'unica classe delle superficie a curvatura costante. 



Nell'anno seguente, in un'altra Comunicazione alla stessa Accademia ( 1 ), 

 fratta delle superficie a linee di curvatura isoterme, incontrate da Christoffel, 

 e sulle quali il Cayley aveva richiamato l'attenzione dei geometri. Egli sta- 

 bilisce un semplice criterio per riconoscere se una superficie appartenga a 

 questa classe, e ne trae la conseguenza che la determinazione di questa 

 classe di superficie dipende dalla integrazione di una equazione a derivate 

 parziali del 4° ordine, precisando così il grado di difficoltà della ricerca. 

 Dimostra di più che sopra ogni superficie nota della classe le linee di cur- 

 vatura si ottengono con quadrature. 



Gli studi successivi del Weingarten si volgono alla teoria delle deforma- 

 zioni infinitesime delle superficie flessibili ed inestendibili, argomento die 

 venne in seguito a formare un capitolo molto importante di geometria infi- 

 nitesimale, ma sul quale allora si conoscevano ben pochi risultati. Nella 

 Memoria inserita nel voi. 100 del Giornale di Creile ( 2 ), Egli dà per il 

 primo la trattazione sistematica del problema, in coordinate curvilinee qua- 

 lunque, esprimendo tutti gli elementi della deformazione per un'unica funzione 

 incognita (la funzione caratteristica), che deve soddisfare ad una equazione 

 lineare del 2° ordine posta da Weingarten sotto forma invariantiva. Dopo 

 ciò, riprende i risultati stabiliti da Jellet e Lecornu in modo poco rigoroso, 

 per darne dimostrazioni più soddisfacenti. 



In un altro lavoro, pubblicato antecedentemente nei Rendiconti di Ber- 

 lino ( 3 ), sono trattati speciali problemi di deformazioni infinitesime mediante 

 forinole molto interessanti, che dànno le variazioni subite dai coefficienti 

 della seconda forma fondamentale: 



La breve Nota del 1S87 nelle Gòttinger Nachrichten ( 4 ), inaugurava 

 una nuova serie di notevolissime ricerche del Nostro sul problema dell'ap- 

 plicabilità. Ivi, con un metodo affatto nuovo e singolare, deduce Weingarten 

 per sole quadrature dalle superficie d'area minima una nuova classe completa 

 di superficie applicabili lima sull'altra, appartenenti alla classe di Liouville, 

 le quali, come più tardi osservò Darboux, possono considerarsi come le de- 

 formate di un certo paraboloide immaginario. 



Proseguendo queste ricerche, Egli fu poi condotto, nel 1891 ( 5 ), a deter- 



(*) Ueber die Differentialgleichung der Oberflàchen, welche durch ihre Krummungs- 

 linieri in unendlich kleine Quadrate getheilt ioerden konnen (Sitzungsberichte... 



( 2 ) Ueber die Deformationen einer biegsamen unausdehnbaren Flàche. 



(•'') Ueber die unendlich kleinen Deformationen einer beiegsamen, unausdehnbaren 

 Flàche (Setzungsberichtd, 28 Januar 1886). 



( 4 ) Etne neue Classe auf einander abvoickelbaren Flàchen. 



( 5 ) Sur la théorie des surfaces applicables (Comptes Rendus do l'Académie de 

 Paris, mars et avril 1891). 



