1. Si consideri una superficie <r dotata in ogni punto di piano tangente 

 e di linee di curvatura. 



Fissiamo sopra a due sistemi di linee coordinate u , v . 

 Siano corrispondentemente 



(1) ds 2 = ~Edu 2 + 2¥dudv-\-(}dv\ 



(2) (P = D du 2 + 2 ~D'du dv + D"dv 2 , 



la prima e la seconda forma fondamentale della superficie a. 



Sia / una linea qualunque tracciata sopra e, e chiamiamo: c la curva- 

 tura di / in un generico suo punto M; s l'angolo, contato tra 0 e tt, for- 

 mato dalle direzioni positive della normale principale di / e della normale 

 alla superficie in M. 



Pel teorema di Meusnier si ha 



(3) e ™ £ = ah- 



Se l è una geodetica di o si ha cos s = ± 1 , secondochè la concavità 

 di l è rivolta verso la direzione positiva o negativa della normale. 



Per questa, la (3) intanto diviene c = — . E opportuno attribuire 



ito 



un segno anche a e. Converremo di contare c positivo, se la direzione che 

 va dal centro di curvatura della geodetica / al piede M della normale coin- 

 cide col verso positivo di questa, negativo nel caso opposto. Con questa con- 

 venzione abbiamo in tutti i casi (') 



<*> — £■ 



Assumiamo ora a linee coordinate le linee di curvatura; indicando con 

 , et le curvature principali di a nel generico suo punto M , abbiamo ( 2 ) 



(5) F = D' = 0 , D = — e* E , D" = — c,G. 



Per queste e per la (2), la (4) diviene 



; 2 



Indicando con 8 l'angolo formato dalle tangenti in M alla geodetica l 

 ed alla linea v, abbiamo 



(6) 1 /È^ = cose ( |/G ^ = sen « . 



( l ) Cfr. Bianchi, loc. cit., pp. 121 e 131. 



( s ) Cfr. Bianchi, Lezioni di geometria differenziale. Pisa, Spoerri, 1902, voi. I, 

 pag. 130. 



