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Per queste la precedente diviene 



(7) e = Co cos 2 0 + Ci sen 2 0 . 



Questa formula definisce il modo di variare della curvatura spettante alle 

 geodetiche passanti pel punto M . Come è ben naturale, essa coincide colla 

 nota formula di Eulero per le sezioni normali. Ma è importante rilevare 

 che mentre per le sezioni normali, in un punto assegnato, la (7) vale solo 

 localmente, essa continua invece a valere lungo una qualsiasi geodetica. 



Chiamiamo s l'arco di una geodetica uscente da M, contato a partire 

 da M stesso. 



Per quanto si è detto, la (7) è derivabile rispetto ad s ; si ottiene così 



(8) 



de 

 ds 



dc 2 2n . dei ia ; . v na dd 



— cos 2 0 + ~r sen 2 0 4- — e,) . sen 26 . — , 



ds ds 1 v ds 



dd 



dove la ^ è definita, a norma della equazione differenziale di Gauss per 



le geodetiche, dalla relazione seguente 

 (9) 



de 



ds 



1 7) y E du 1_ -òyQt do 



|/q Isv ds j/j] ~ì>u ds 



A questa relazione può darsi un'altra forma contenente soltanto elementi 

 intrinseci della superficie. 



Le formule di Mainardi-Codazzi ( 2 ) 



•DJ 

 ~bv |_|/e 



D" ~ò | E 



G Dv 



= 0 



J>_ 



~òu 



DJ 



D ~ò y G 

 E ~òu 



0, 



1 



lìCx 



per le (5), dànno rispettivamente 



1 P j/E _ _1 2£? J_ = _ 



Per queste e per le (6), la (9) diviene 



de 



ds Ci — Ci 



"costì ~òCo , sen e DcT 

 _t/G l/E 



ovvero, introducendo gli archi elementari ds u , ds„ delle u ,v, legati a 

 e du dalle note formule 



(10) 



ds u = l/(x do , rfs^ = j/E du, 



0) Cfr. Bianchi, loc. cit, pag. 190. 

 ( 2 ) Cfr. Bianchi, loc. cit., pag. 122. 



