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la (9) in definitiva può scriversi in forma intrinseca nel modo seguente 



' ' d$ Ci— C 2 \_~ÒSu ~òSv J 



D'altra parte, per le (6) e le (IO), abbiamo 



dd l)&du .lunch cos6i pc t - senft Dfo cog # _i_ ]^ sen # 



ds Dm <is Dy ds ~ -j/b 7>w |/g ~<>v ~òs v Ds !{ 



(e = 1,2). 



Per queste e per la (9'), dalla (8) si ottiene in definitiva 



(8') — = — cos 3 0 4- — sen 3 fl -4- - — cos tì A sen tì sen 20. 



v ; ds ~òs v 1 l)Su 2[_'òs ÌA 7>s„ J 



de 



Questa formula esprime appunto il modo di variare di — in M al variare 

 di 0 , essendo , , , — — elementi intrinseci della superficie. 



ÌS^ DS M ~òS v 1)S H 



2. È interessante notare che, mentre la media dei valori di e in M, 



1 C 2n c -A- Ci 



cioè -z— e do è notoriamente la curvatura media 1 ~^ — della super- 

 2rr J 0 2 



ficie in M , invece la media dei valori di — in M è identicamente nulla. 



ds 



Infatti se si nota che sono nulli gli integrali 

 cos 3 0 db , sen 3 # dtì , cos tì sen 2(9 dtì , sen 0 sen 20 dtì , 



D 0 ^0 Jq 



dalla (8') risulta nullo 1' dtì ; c. d. d. 



Dalla (8') e da quella che se ne ottiene mediante derivazione rispetto 

 a tì scende la seguente proposizione. Fra tutte le geodetiche spiccate da 



( l ) Alla (9') si può pervenire assai speditamente coi metodi del prof. Ricci [Lezioni 

 sulla teoria delle superficie. Padova, fratelli Drucker (1898), ed. litografata]. Infatti la 

 equazione differenziale di Gauss si trova ivi già espressa in forma intrinseca, nel modo 

 dd 



seguente: — —y costì — (y) sentì, essendo y e (y) le curvature geodetiche [cfr. Ricci, 



loc. cit., pp. 174-175-184 186] di due sistemi di linee ortogonali tracciate sulla super- 

 ficie. Le formule di Mainardi-Codazzi dànno allora nel nostro caso 



(c a — Ci) (y) — — - , {d — c t )y=- — , 



[cfr. Ricci, loc. cit., pag. 296, formula e,) in cui si sono cambiati a», e u> t rispettivamente 

 in c 2 e Ci]; dalle quali si ricavauo y e (y). che portate nella precedente espressione di 

 dO 



-j- , dànno senz'altro la (9'). 



