Matematica. — Solution générale du problème de développe- 

 ment d'une fonction arbitraire en séries suivant les fonctions 

 fondamentales de Sturm-Liouville. Nota di W. Stekloff, presen- 

 tata dal Socio T. Levi-Civita. 



1. Désignons par Y h (x) (k — 1 , 2 , 3 , ...) les fonctions fondamentales 

 détìnies par les équations 



jointes aux conditions aus limites 



(2) V' k (a)-hY H (a) = 0 , V' k (b) + H Y k (b) = 0 . 



Je vais considérer, dans ce qui va suivre, le cas où les fonctions données 

 satisfont aux conditions suivantes: 



p{x) et q{x) restent positives et admettent les dérivées des deux 

 premiers ordres dans V intervalle (a , b); 



les dérivées du second ordre de p(x) et q(x) sont des fonctions 

 continues et à variation bornée dans (a,b); 



les fonctions p(x) et q(x) ne sannulent pas dans (a,b); 



la fonction r(x) reste positive et continue dans l'intervalle con- 



sidérè ; 



les constantes h et H sont fènies et positives. 



Introduisons, avec J. Liouville, une nouvelle variable t, au lieu de x, 

 et une nouvelle fonction u^t), au lieu de V fe (cc), en posant 



t == £ dx )/t$) ' 



où 



Vpì x ) v( x ) 



et désignons par T la valeur de t correspondant à x = b . 

 L'équation (1) deviendra 



u'k{t) + K u n (t) = fi{t) u h {t) , 



où 



1 / . /» di/va dz d % z , — \ 



