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Appliquons maintenant les inégalités générales (8), (9) et (IO) à la 

 dernière somme du second membre de l'égalité (5). 

 On trouve, en vertu de (6), 



(11) 



< K J/j o F 2 (/) dt , 



dt 



dt 



K étant un nombre fixe. 



4. Désignons maintenant par <p(t) et f(t) deux fonctions quelconques 

 dont l'ime g>(t) est intégrable, l'autre f(t) est continue dans (0 , T). 



Posons 



^. + o) + ^,- o) f j\(t)uMii 



2 k=l ul(t) 



f T f(t) u k (t) 



f{Q = 2_ A+uM + R n (t Q ) , A s = , 



t 0 désignant une valeur quelconque de t appartenant à l' intervalle (0 , T). 

 On trouve 



(12) qM = yfa+°>+y(^-- 0 > _ m + Rn(/o) _ f (Bft _ A*)«*(a 



Prenons pour /"(£) une fonction définie par l' intégrale 



(13) f(t) = \^\{t)dt. 



Il est aisé de comprendre que le théorème de ma Note récente : Sur 

 le développement d'une fonction arbitraire en séries suivant les fonctions 

 fondamentales (C. R., II semestre, 1910) s'applique à la fonction f(t) et 

 conduit à l'inégalité 



(14) Wl,)|<4, 



h yn 



Q désignant un nombre fìxe. 

 Faisons, dans (5), 



F(t) = <p(t)-f(t). 



On trouve 



(15) £ (B k - A,) uM = f T h (t 0 ) = S n (t e ) - | f T F(t) dt+f_ Tg>(* 0 ) , 



k=l ft=l i- J Q fz=l 



