où l'on a pose 



O n 



(i5.) s n (/ 0 ) =yJ o m dt+^ 2. cos 



knt 



F(t) cos ^ dt 



5. Décomposons l' intervalle (0 , T) od q intervalles particuliers ej et 

 désignons par e h ceux de ces intervalles où l'oscillation de la fonetion F(t) 

 est plus petite qu'un nornbre fixe ó, donne à l'avance, par ceux où cette 

 oscillation surpasse à. 



F(t) étant intégrable dans (0 , T), on peut choisir une décomposition 

 convenable telle qu'on ait 



(16) Z 



la somme étant étendue à tous les intervalles et où l'oscillation de F(/) 

 surpasse à. 



Désignons par M 0 le maximum de \F{t)\ dans les intervalles e ft , par 

 M son maximum dans l'intervallo (0 , T) tout entier. 

 On trouve, en vertu de (16), 



(17) 



r¥{t)dt < f\Y{t)\dt + f |F(0|^<M 0 T + M(T. 



J 0 Je k Jè { 



Or l'équation (16) mentre qu'on peut toujours choisir le nombre h de 

 facon qu'on ait 



\F(t)\ = \<p(t)-f(ty-M 0 <ó 



pour toutes les valeurs de t appartennant aux intervalles que nous avons 

 désignés par e k . 



Le nombre li = h 0 étant ainsi choisi, on obtient, eu égard à (17), 



(18) 



P(0 dì 



< (T + M) è < N Ó 



On s'assurera eDSuite, de la mème manière, que 



(19) 



F 2 (t) ^ < M 2 0 T -f- M 2 <f <N,<f , 



N et Nj désignant des nombres tìxes. 



6. Rapprochons maintenant les formules (12), (14), (15), (lòj), (11), 

 (18) et (19), on obtient cette inégalité remarquable 



\Qn{t 0 )\< 



9(to + 0) + <f{h — 0) 



Y(<o) — s„(? 0 ) 



h 0 yn 



ayant lieu toujours, quelle que soit la fonetion <p(t) intégrable dans (0,T) 

 et quel que soit le nombre n. 



