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De cette inégalité on tire irnmédiatement, en vertu de (4), les théo- 

 rèmes suivants: 



Théorème I. — Touie fonction donnée f(x) satisfaisant à l'une de 

 ces trois conditions: 



1) elle est continue et à variation bornée, 



2) elle satisfait à la condition de Lipschits: 



\f(x + h) — f(x)\<lk« , h>0 , a^tl, 



3) elle satisfait à la condition de D ini- Lift schitz : 



lim ) logh \_f(x + h) — f{x)~] [ = 0 , 



4=0 



se développe en serie unìformément convergente de la forme 



(20) 



A* ) = I 



Vtix) q(x)f(x)Ti{x)da! 



J a 



f q{x) V|(cc) dx 



quelle que soil la suite de fonctions fondamentales Y^x) (le = 1 , 2 , 

 définies au début du n°. 1. 



Pour tonte fonction à variation bomée la somme de cette sèrie est 

 égale à 



en tout point x intèrieur à V intervalle {a , b). 



Théorème IL — Quelle que soit la fonction f(x), continue dans 

 {a , b) , on a toujours 



<C « pour n ■> n 0 , 



s désignant un nombre positif arbitrairement petit, et S h (x) la somme 

 de k premiers termes de la serie (20), cest-à-dire 



f(x) = lim — . 



C'est une exteaslon du théorème de Fejér, concernant les séries trigo- 

 nométriques, aux fonetions fondamentales de Sturm-Liouville. 



