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risulta 



giacché, per ipotesi, rj n — cost è un integrale. 

 Dunque il sistema trasformato diventa 



tè, 

 dt 



dt 



n 



~ÒVÌ 



dt 



drj. 



dt 



= 0, 



(« = 1,2 ...n — 1) 



ove H' è indipendente da . Quindi, posto rj n = cost in H' , la £„ si ot- 

 tiene per quadratura, integrato che sia il sistema delle prime 2n — 2 equa- 

 zioni, il quale ha conservato la forma Hamiltoniana. 



In seguito a queste osservazioni nasce la questione seguente: Noto un 

 integrale Vn(q ;p) = cost del sistema (1), determinare le trasformazioni (0) 

 canoniche,, in cui l'ennesima reiasione tj n = rj n (q ;p) sia definita precisa- 

 mente dall'integrale noto. Operando una di queste trasformazioni, si ottiene 

 la riduzione del sistema dato ad un sistema Hamiltoniano con 2n — 2 equa- 

 zioni, nel senso spiegato di sopra. 



Benché in casi particolari (per es. nel problema dei tre corpi) questo 

 problema sia stato implicitamente enunciato e indirettamente risoluto, nel 

 caso generale non è stato, ch'io sappia, non dico risoluto, ma neppure enun- 

 ciato in termini precisi. Ciò, a parer mio, lascia incompleta la bella teoria 

 della trasformazione dei sistemi Hamiltoniani nel punto più importante ; 

 essendo manifesto che lo scopo ultimo di quella teoria è di valersi degli 

 integrali conosciuti per ridurre il sistema a un minor grado di libertà, pur 

 conservandogli la forma Hamiltoniana. 



2. Il problema enunciato si risolve in un modo assai semplice. Consi- 

 deriamo la trasformazione (0), ove 



è un integrale conosciuto del sistema (1); e supponiamo che le prime n 

 equazioni sieno risolubili rispetto alle p , per modo che la trasformazione 

 stessa si possa scrivere sotto la forma 



Pi =Pi(q ; £) , Vi = Vi ( c i ; p(i ; £) = 9i(q ; £) (* = 1 , 2 ... »). 



Sarà 



= vÀq ; p) = cost 



(e) 



Pili ?«) 



D(j0i p 2 -Pn) 



4=0. 



