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Affinchè sia canonica è necessario e basta che soddisfi alla (2) ; perciò dovrà 

 risultare 



(3) Pi = ^ , fH^-£ (i=l,2...n), 



dove V è una funzione delle q e £. Ma questa funzione non può essere 

 scelta ad arbitrio, perchè il secondo membro dell' ultima equazione di tras- 

 formazione, ossia s deve essere uguale a 



Vn(q;p(q;$)); 



la quale è conosciuta come funzione di p e q. Bisognerà dunque, in virtù 

 delle prime n equazioni (3), che soddisfi l'equazione a derivate parziali 



Si conclude: Determinata una funzione V(q l q 2 ... q n , £i £2 ••• £«-1 ?») 

 soddisfacente all'equazione (4) (ottenuta dall'integrale noto rj n (q ;p) = cost 



mediante la sostituzione di a Pi e di — -^7- alla costante del secondo 



membro), le formule (3) definiscono una trasformazione canonica, che ri- 

 duce il sistema dato a un sistema Hamiltoniano con 2n — 2 equazioni. 



Si vede che le f t £ 2 ... £ n _i compaiono nella V, considerata quale solu- 

 zione della (4), come costanti arbitrarie, e sono in numero di n — 1. È fa- 

 cile comprendere che, per la forma particolare della (4), un'altra costante 

 può sempre immaginarsi aggiunta alla variabile f„ . Dippiù la condizione (e) 

 dà luogo a quest'altra condizione: 



v (2l2l...2l) 



(5) y<'~*: ~y J +o; 



Si §2 ••• ?n— 1 ?» 



per conseguenza la funzione V del teorema precedente può ben chiamarsi 

 un integrale completo della (4). 



Il teorema dimostrato contiene in sè, come caso particolare un notis- 

 simo teorema di Jacobi. Invero, l' integrale r in (q ; p) = cost sia H = h (si 

 suppone che H non contenga il tempo). La (4) diventa 



(6) 



