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Hamiltoniano con 2n — 2m equazioni. Ma è importante esaminare se sia 

 possibile ottenere lo stesso risultato con una sola trasformazione. 

 Siano 



ì] n = COSt , rj n _ x — COSt , ... , rjn-m+1 = COSt 



m integrali noti del sistema (1). Si vuol trovare una trasformazione cano- 

 nica (0), tale che i secondi membri delle ultime m equazioni della trasfor- 

 mazione uguagliati a costanti coincidano rispettivamente con gl'integrali 

 suaccennati. 



Ragionando come al § 2, si vede subito che le (3) rappresenteranno 

 la trasformazione cercata quante volte la funzione 



soddisfi al sistema 



(7) ^- w+ i(g;^)+ _? Y =0 (» — 1,2... m) 



\ òq J dSn—m+i 



e alla condizione (5). Anche qui le £x £ 2 ••• tn-m compariscono come costanti 

 arbitrarie. Per quanto fu osservato di sopra, altre m costanti si possono 

 pensare addizionate rispettivamente alle variabili ì n -m+\ ... £«; onde quella V 

 può chiamarsi un integrale completo delle (7). Allora, per cose note, si de- 

 duce subito che la V esisterà quando gl'integrali dati sono in involuzione. 



Si conclude: Noti m integrali del sistema (1), esso potrà ridursi ad 

 un sistema Hamiltoniano con 2n — 2m equazioni mediante una sola tras- 

 formazione canonica, quando quegl' integrali sono in involuzione ; nel caso 

 contrario occorrono m successive trasformazioni. 



Considerazioni analoghe valgono scambiando le p con le q, come fu 

 già osservato nel paragrafo precedente riguardo al caso d' un solo integrale. 



Applicazione. — Supponiamo che il sistema dato (1) ammetta k in- 

 tegrali funzioni delle sole p\ per esempio 



Pi(Plj02 ■•■Pn) = cost («' = 1,2 ... k) . 



Il sistema 



P ; = ^f (i = l,2...k) 



è soddisfatto da 



V = h Pi + h P 2 H h £*P* + U pi ...p n & +1 ... ?„) ; 



quindi la trasformazione 



/ rj H+m = — — (m = 1 , 2 ... n — k) 



vSk+m 



riduce il sistema dato a un sistema Hamiltoniano con 2n — 2k equazioni. 



