Nota sui circoli nella Geometria non-euclidea. 

 Per &. BATTAGLINI 



letta nella sessione del 7 dicembre 1873. 



In una Nota, comunicata all'Accademia nell'aprile 1873, mi occupai dei Rap- 

 porti anarmonici sezionali di due coniche in relazione ad una terza conica , che 

 dirò conica direttrice , intendendo con ciò i rapporti anarmonici determinati dalle 

 tangenti alle due coniche proposte in uno dei loro punti d' intersezione, e dalle tan- 

 genti condotte dallo stesso punto alla conica direttrice ; discussi principalmente in 

 quella Nota il caso in cui le due coniche hanno per tutti e quattro i loro punti 

 d' intersezione lo stesso rapporto anarmonico sezionale rispetto alla conica direttrice, 

 riserbandomi per un'altra occasione di trattare del caso in cui quei rapporti anar- 

 monici sezionali hanno uno stesso valore per due dei punti d' intersezione delle due 

 coniche, ed un altro valore comune per gli altri due punti d' intersezione : 1' esame 

 di questa questione, supponendo che le coniche proposte abbiano con la conica di- 

 rettrice doppii contatti, forma F oggetto della presente Nota. 



Lo scopo principale di questa ricerca si è di estendere alla Geometria non-eu- 

 clidea la proprietà dei circoli della Geometria euclidea, ed infatti se la conica di- 

 rettrice è l'infinito o l'assoluto del piano per la Geometria non-euclidea, ellittica 

 o iperbolica , le coniche che hanno con la conica direttrice doppii contatti sono i 

 circoli non-euclidei, e 1' eguaglianza dei rapporti anarmonici sezionali delle due co- 

 niche rispetto alla conica direttrice è la proprietà proiettiva non-euclidea, che cor- 

 risponde alla proprietà metrica euclidea dell' eguaglianza degli angoli tra le tangenti 

 a due circoli nei loro due punti d' intersezione. 



1. Richiamiamo alcune forinole dalla Nota citata. Siano 



U = Ax* -4- Bif -4- Cz 1 hh 2Fyz 2Gzx h- 2Hxy == 0, 

 M u == aF 6 F -+- cZ* -+- 2fYZ 2gZX -+- 2hXY = 0, 



le equazioni , in coordinate del punto ed in coordinate della retta , di una conica 

 (U, u) considerata come linea di 2° ordine 0 di 2 a classe, essendo 



a = BG — F\ b = CA — G\ c = AB — H\ 

 f = GH— AF, g =HF — BG, h = FG — CH; 



ed analoghe formole si abbiano per due altre coniche (U', vi), (U", u"). 



