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Tutta la formula è analoga a quella di Taylor, col resto sotto forma di 

 integrale definito. 



2. Nelle stesse ipotesi, la differenza fra fb e la somma dei primi n -J- 1 

 termini dello sviluppo di Mercator, cioè il resto di cui sopra si parla, è 

 della forma G(b — a, n -f- 1) moltiplicato per un valore medio fra quelli 

 assunti da J n+l fx, per x intero compreso fra a e b — n — 1. 



Risponde alla formula di Taylor, col resto di Lagrange. 



3. Avendo a,b,f il significato precedente, e b^>a-{-l, se x è un 

 intero compreso fra a e b , allora la differenza fra fx , e 



fa + é — a) (fb — fa) /{fi — a) , 



funzione di primo grado che per x = a ed x = b assume i valori fa e 

 fb, vale 



(x — a) {x — b)/2 



moltiplicato per un valore medio fra quelli assunti da J 2 fx, variando x 

 da a a b — 2 (per valori interi). 



È analogo al teorema di calcolo differenziale che esprime l'errore nel- 

 l' interpolazione di primo grado mediante la derivata seconda (Formulario, 

 pag. 290). 



4. Nelle ipotesi 3, la somma dei valori di fx, quando x varia per va- 

 lori interi da a a b, è per approssimazione eguale al loro numero b — a -\- 1, 

 moltiplicato per la media aritmetica dei due valori estremi. L'errore in questa 

 approssimazione si può esprimere colle differenze seconde, e si ha: 



2(f , a-b) = (b - a + Afa + fb)/2 - 



— 2l(x — a)(b- x) J 2 f{x — 1) | x , (a + 1)- (b — 1)] 



analoga alla formula di calcolo, che esprime un integrale definito colla for- 

 mula dei trapezi, più un resto sotto forma di integrale. 



5. Il resto nell'approssimazione precedente è riducibile alla forma: 

 — C(6 — a-f-l<3)X valore medio di J 2 fx, quando x varia da a a b — 2, 

 diviso per 2. 



Le formule precedenti si possono dimostrare come le corrispondenti di 

 calcolo, con opportune variazioni. Mi sono occorse in calcoli su rendite vita- 

 lizie; e non mi fu dato di incontrarle nelle pubblicazioni ordinarie. 



