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Or, il est bien remarquable, ce me semble, quii est très facile de 

 rendre rigoureuse la méthode illégitime appliquée par Laplace et Soldner 

 et cela d'un point de vue general qui nous perrnet de déduire immédiate- 

 ment des résultats analogues trouvés en détournant des difficultés considé- 

 rables par Legendre ( 1 ), Laguerre ( 2 ) et M. Tannery ( 3 ). 



A cet effet, nous avons à démontrer un théorème, nouveau je crois, 

 concernant la méthode que Gauss ( 4 ) a appliquée dans ses recherches sur la 

 serie hypergéométrique, savoir le théorème: 



Appliquons formellement sur la sèrie hypergéométrique toujours di- 

 vergente : 



(3) lim fflv ,$,k, — kx) 



h=a> 



la méthode de Gauss, nous aurons une fraction continue qui est certaine- 

 ment convergente pour des valeurs finies réelles de v et q, pourvu que x 

 soit une quantité positive et finie. 



Quant à la démonstration de ce théorème, prenons pour point de départ 

 l'intégrale définie 



<4) *w=r& 



qui a un sens, pourvu que les parties réelles de x et de v soient positives ; 

 le chemin d'intégration coincide avec l'axe des nombres positifs. 

 Appliquons ensuite la sèrie de Taylor 



(l + 0-?= S Z J (~ ? )"f + Rn, 



nous avons ce développement asymptotique ( 5 ) 



(5) u^p(^) = £ ^- — — + r; , 



S=0 & 



ce qui nous conduira précisément à la serie divergente (3), abstraction faite 

 d'un simple facteur. 



Cela posé, une integration par parties donnera immédiatement, en vertu 

 de (4), si nous y mettons v -f- 1 au lieu de v, cette équation fonctionnelle 



(6) x ■ IT** 1 * (x) = v ■ U^-P {x) — q • U v+1 -P +l (x), 



(') Traité des fonct. ellipt. et des intégrales eulériennes, t. II, pag. 509, Paris, 1826. 

 ( a ) Bull, de la Soc. Matta', de France, t. 7, pp. 72-81, 1879. Oeuvres, t. I, pp. 428-437. 

 ( 3 ) Comptes Rendus, t. 94, pp. 1698-1701; t. 95, pag. 75, 1882. 

 («) Comment. Gotting., t. 2, pag. 13, 1812. Oeuvres, t. Ili, pag. 134. 

 ( 6 ) Voir mori Mémoire: Sur une intégrale définie, inséré dans les Mathematische 

 Annalen, t. 59, pp. 89-102, 1904. 



