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d'où, après une légère transformation : 

 t W +1 *(x) 



(7) * + w+i, 9{x ) 



appliquons ensuite l'identité evidente : 



+ = f(i -f 0 _p — r(i + 



il résulte de meme, en vertu de (4) 



d'où, à l'aide de (7), la fraction continue cherchée 



l V' +i ^(x) = v 



] U v >p(«) ~~ ? 



(8) 



f + U V+1 >P +1 (a?) 



dont la loi est evidente. 



Supposons maintenant positive la variable # et ré^s les paramètres v 

 et e , les qnantités v -f- n et ? + w fìnissent toujours par étre positives, et 

 c'est la méme chose avec le terme complémentaire 



U v+w *^ +n (^):U^ w >P +w (4, 



ce qui nous confluirà précisément au théorèrne qne nous venons d'énoncer. 

 Cela pose, mettons dans (3) e = 1 , puis introduisons la fonction 



(9) Q(x,v)=J e-'P-'dt, 



il est évident que cette fonction est une transcendante entière de v, pourvu 

 que x soit une quantité tìnie differente de zero. M. Mellin ( l ) a indiqué 

 cette autre formule intégrale 



r<*> e -tx r>-\ 



(10) r{v)e*-q(xA-v)=^ T+7 dtì 



où il faut admettre que les parties réelles de x et de v soient positives, ce 

 qui donnera 



(11) V^ l (x) = r{v)e a: Q(x, 1 — v). 

 Appliquons ensuite dans (9) l'integration par parties, il résulte 



v ■ Q(# , v) = Q(x , v + 1) — e~ x . «\ 



(') Voir mon Handbuch der Theorie der Gammafunktion, pag. 211, Leipzig, 1906, 

 chez B-G. Teubner. 



