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e si ponga per brevità 



da* = dx 2 -f- df -f ds 2 = 



= a n dìX 2 + «22 dx\ -f- «33 ^3 + dxidx 2 -f- 2« [3 dx x dx 3 + 2« 23 <^2 da 3 , 

 si chiami « il discriminante: 



«12 «13 



«22 «23 

 «32 «38 



ed A rs il complemento algebrico di a rs nel discriminante a, diviso per a 

 stesso. Allora il parametro differenziale secondo di ima funzione qualsiasi f 

 ed il parametro differenziale misto di due funzioni f ed /", si esprimono 

 con le formule 



2[_ V. 



~òXf ~àXs 



Applicando queste formule alle equazioni (13) e (14), con lunghe ma assai 

 semplici trasformazioni che io qui tralascio di riportare, si trova che il si- 

 stema di quelle due equazioni si può risolvere rispetto a ^ ^ e ^ ^ ^ ' , 

 e si ottengono così due equazioni del tipo: 

 I 7> log® 



(18) 



-ÒXi 



~ò log d> 



~~òX% 



= Xi(«ri , x 2 ) 

 = X 2 (^, , x 2 ) , 



Le funzioni Xi , X 2 sono tali che risulta identicamente soddisfatta la nota 

 condizione di integrabilità: 



~i)X] "5X2 



~òXz ~òXi 



perciò il sistema delle equazioni (18) è integrabile e fornisce una equazione 

 del tipo: 



log (P := t{x x , Xi) + C , 



dove C è una costante rispetto ad x x , x% ed x 3 , e perciò è in generale una 

 funzione di t. Ne segue che <2> è della forma: 



0> = (f (t) ■ xp (Xi . X2) , 



