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e le funzioni A e B siano da determinarsi, e valgano fra le grandezze 

 a. , /S , y , e , « t ,. yi , «i , indipendenti da x ,y ,t, le relazioni 



(a* + A- 2 — f -' = 0 



2»>^ + /9? + y?) A 1 — — 2*/, £ 2 = 0. 



Queste due relazioni (*) mostrano che è verificata la (4). Perchè anche le 

 due condizioni limiti (5) siano verificate, noi dobbiamo determinare A e B . 



Il teorema di Fourier per le funzioni di tre variabili, circa la dedu- 

 zione del quale è già largo cenno nello stesso libro di Weber, può così 

 formularsi : 



f{x,y,t) = 



00 00 



(9) 8^ IIS dtt d§ d£ f JT^ ' V ' T) / a( ^ )+Pu/ -* ,+S(! - T)] # d V dr. 



= co — co 



E, giacché, per s = 0 , y> si riduce a P soltanto, così vediamo che, ponendo 



00 



(10) A(« ,/?,«) = ~ jff®(% ,V,*) e- u *^ r ' + " } dS dì] dx , 



— 00 



otteniamo che resti verificata la prima condizione (5). Ciò determina V(a;,y,2,t). 



~~òl?(iC II Z t) 



Ora facciamo la derivata — — — — , e poniamo, per ogni punto del 



~òs 



piano limite 



(11) * l (*'V>Q.T*-{$^i' 



Si vede subito che, se noi determiniamo B(a ,/?,«) colla formula 



00 



(12) B<«i , , Sl ) = ^jjjm , >? . *) (a '^-^' T) dì d V dx 



— 00 



e osserviamo (9) , (8) , (6) e (11), ci persuadiamo che anche la seconda con- 

 dizione (5) è verificata. Possiamo dunque dire d'avere integrato l'equazione 

 (4), tenendo conto delle due condizioni (5). 



Ma ora, se deriviamo le (1) rispetto a %,y,z e sommiamo, ricaviamo 

 subito 



(13) £)i2© = 0. 



Ma le due prime (2) e la terza (3) lasciano agevolmente calcolare 0 in 



(') Noi possiamo sempre regolare le radici y,yi in modo che |eì"| , ) ^T 13 1 risultino 

 < 1, perchè z è soltanto positivo. 



