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viduanti un grappo di n punti della curva / ; al variare di (£ , rj) il gruppo 

 descrive una serie algebrica oo 1 , di ordine n . Un punto generico [x , y) 

 di f appartiene ad un certo numero finito v >> 0 di gruppi della serie, 

 dove v , indice della serie, è il numero delle soluzioni (J , rj) delle (2) e (3) 

 in corrispondenza a quei valori di x , y . 



Ora si osservi che anche una sola equazione algebrica 

 (4) BM y ; £ , rj) = 0 



definisce una serie algebrica oo 1 sopra la curva /. Ma questa serie, come 

 si riconosce facilmente, presenta la particolarità di esser contenuta in una 

 serie lineare dello stesso ordine. E sussiste pure la proprietà inversa. 



In conseguenza, la questione proposta consiste nello stabilire un criterio 

 per decidere se il sistema delle quattro equazioni (1), (2), (3), aventi infi- 

 nite soluzioni comuni, possa esser sostituito da un sistema equivalente com- 

 posto di tre sole equazioni (1), (2), (4) ('). 



Il criterio, che viene esposto in questa Nota, esige solo la conoscenza 

 del genere p della curva /, ed inoltre dei caratteri numerici della serie 

 algebrica, che sono l'ordine n , l' indice v , ed il numero d dei punti doppi, 

 in ciascuno dei quali vengono a coincidere due punti di uno stesso gruppo 

 della serie. 



Vedremo infatti, nel n° 1, che, noti n ,v e p , si può fissare un limite 

 superiore per d , e che, quando il limite è raggiunto, allora, ed allora sol- 

 tanto, la serie algebrica fa parte di una serie lineare d'ordine n . 



Questo criterio viene applicato, noi n° 2, a dimostrare un lemma no- 

 tevole sulle serie algebriche dovuto al Severi ( 2 ), di cui egli approfitta per 

 stabilire varie proprietà delle superficie irregolari, e, in particolare, la rela- 

 zione fondamentale tra l' irregolarità ed il numero degli integrali di Picard 

 di prima specie appartenenti alla superficie. Nella stessa mia dimostrazione 

 di quest'ultimo teorema, pur fondata su concetti diversi, ho dovuto ricorrere 

 a quel lemma per evitare complicate discussioni di Analysis situs. Vista 

 dunque l' importanza del lemma, pur riconoscendo i pregi ed il rigore della 

 dimostrazione trascendente che il Severi ne dà, era sorto in me il desiderio 

 di ritrovare quella proposizione per una via più conforme alla sua natura 

 algebrica. Così ebbe origine la breve Nota che segue. La quale contiene an- 

 cora, nel n° 3, una nuova interpretazione del risultato del n° 1 ; e, nel n° 4, 

 un complemento ad un altro risultato del Severi relativo alle superficie che 

 contengono due fasci di curve unisecantisi. 



(') Si ricordi che, nel valutare l'equivalenza dei due sistemi, ammettiamo si possa 

 trascurare un numero finito di soluzioni {$ , y), o (f , rj), cui corrispondano valori indeter- 

 minati per £ , rj , o per % , y , rispettivamente. Ciò equivale, in linguaggio geometrico, a fare 

 astrazione dagli eventuali punti di / , che fossero comuni a tutti i gruppi della serie. 



( 2 ) // teorema di Abel sulle superficie algebriche, n. 1 (Annali- di Matematica, 

 s. Ili, t. XII). 



