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1. Sopra la curva /, di genere p , sia data una serie algebrica oo l , y n , 

 di ordine n e indice v . Noi supporremo la serie priva di punti fissi (comuni 

 a tutti i suoi gruppi) ed irriducibile, tale cioè che i suoi gruppi non siano 

 composti coi gruppi di due serie algebriche di ordini inferiori. La rappre- 

 sentazione analitica (1), (2), (3) della serie fa vedere che essa ha origine 

 da una corrispondenza algebrica (n , v) tra due curve f , y> , in virtù della 

 quale ad ogni punto di y corrispondono n punti di /, formanti un gruppo 

 della Yn , mentre ad ogni punto di f corrispondono v punti di (p , formanti 

 un gruppo di una nuova serie algebrica y s , di ordine v e indice n ; sia n il 

 genere di g> . I numeri d e ó dei punti doppi delle due serie y n , y„ danno 

 i numeri delle coincidenze della corrispondenza su f e (p , od anche i nu- 

 meri dei punii di diramazione che giacciono su y> ed f , rispettivamente. 



Insieme alle due curve / e y>, conviene spesso considerare una terza curva 

 K , i cui punti rappresentano le singole coppie della corrispondenza nomi- 

 nata ('). Questa curva K ha, nello spazio a quattro dimensioni (x , y , £ , i]), 

 le equazioni (1), (2), (3), ed appartiene per conseguenza alla superficie 



(S) f(x,y) = o , 9>(?^) = o, 



che è la intersezione dei coni (a tre dimensioni) proiettanti le curve piane 

 f,(p dalle rette all'infinito dei piani &],xy rispettivamente. La curva K 

 contiene due involuzioni (serie algebriche d'indice 1), la prima d'ordine v 

 e genere p segata dai piani del cono f , la seconda d'ordine n e genere n 

 segata dai piani del cono <p . 



Fra il genere P della curva K ed i caratteri sopra indicati passano le 

 due relazioni (di Zeuthen) 



(5) 2P-— 2 = 2n(7i — l)-\-d = 2v(p — 1) + 6. 



Ricordato ciò, costruiamo sulla curva /' una qualsiasi serie lineare, non 

 speciale, gl-ì+p , di ordine n — 1 -f-ja e dimensione n — 1. Dato l'arbitrio 

 nella scelta di un gruppo della serie, si può sempre ottenere che un gruppo 

 prefisso della y n non formi parte di nessun gruppo di quella serie lineare 

 oo n_1 . Allora il problema algebrico di determinare quei gruppi di y n , che 

 sono contenuti in gruppi della serie lineare, è determinato, ed ammette un 

 numero finito z ~ 0 di soluzioni. Il numero k è fornito da una formola no- 

 tevole dovuta al Segre ( 2 ). Questa assegna il numero dei gruppi di r + 1 



(') Si veda, ad es., il § 10 della Introduzione alla Geometria sopra un ente alge- 

 brico del Segre (Annali di Matematica, s. II, t. XXII), 



( 2 ) Sulle varietà algebriche composte di una serie e» 1 di spazi (Rendiconti della 

 R. Accad. d. Lincei, ottobre 1887); oppure Introduzione... citata, § 13. Un'altra dimo- 

 strazione di quella formola, nel caso particolare n = 0 , si trova in una mia Nota Ricer- 

 che di geometria sulle curve algebriche (Atti della R. Accad. d. Scienze di Torino, 1889); 

 nella quale approfitto della formola stessa, in un modo che ha qualche analogia con quello 

 qui tenuto, per dimostrare geometricamente il teorema di Riemann-Roch, senza ricorrere 



